Prove, usando o Princípio da Indução Finita, que as afirmações a seguir são válidas para todo
:
(e)
é divisível por 3 .
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que para todo número natural
, a expressão
é divisível por 3. Isso vai envolver o Princípio da Indução Matemática, que é uma técnica para mostrar que algo é verdadeiro para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso inicial, geralmente quando
. Isso é chamado de base da indução.
Quando
:
E 3 é divisível por 3, então a base da indução está ok!
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum
. Ou seja, vamos supor que:
Isso significa que existe um número inteiro
tal que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Vamos calcular
:
Agora, podemos reescrever isso usando a hipótese de indução:
Sabemos pela hipótese que
, então:
Isso mostra que
também é divisível por 3.
Resposta
Portanto, usando o Princípio da Indução Matemática, provamos que para todo
, a expressão
é divisível por 3.
Exercícios relacionados
Considere o universo
e os subconjuntos
,
e
. Determine:
© e
.
©
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
©
©
Demonstre as seguintes afirmações pelo método direto:
© Se é par e
é ímpar, então
é ímpar.
© Se
Negue as seguintes proposições:
(j) Se é par, então
é par.
(j) Se