Prove, usando o Princípio da Indução Finita, que as afirmações a seguir são válidas para todo :
(e) é divisível por 3 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que para todo número natural , a expressão é divisível por 3. Isso vai envolver o Princípio da Indução Matemática, que é uma técnica para mostrar que algo é verdadeiro para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso inicial, geralmente quando . Isso é chamado de base da indução.
Quando :
E 3 é divisível por 3, então a base da indução está ok!

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum . Ou seja, vamos supor que:
éí
Isso significa que existe um número inteiro tal que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Vamos calcular :
Agora, podemos reescrever isso usando a hipótese de indução:
Sabemos pela hipótese que , então:
Isso mostra que também é divisível por 3.

Resposta

Portanto, usando o Princípio da Indução Matemática, provamos que para todo , a expressão é divisível por 3.

Exercícios relacionados

Considere o universo e os subconjuntos , e . Determine:
© e .
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
©
Demonstre as seguintes afirmações pelo método direto:
© Se é par e é ímpar, então é ímpar.
Negue as seguintes proposições:
(j) Se é par, então é par.