Prove, usando o Princípio da Indução Finita, que as afirmações a seguir são válidas para todo
:
(b) A soma dos
primeiros números ímpares é igual a
.
(b) A soma dos
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A questão quer que a gente prove, usando o Princípio da Indução Matemática, que a soma dos
primeiros números ímpares é igual a
. Para resolver isso, vamos usar a indução matemática, que é uma técnica que nos ajuda a provar proposições para todos os números naturais.
Passo 2
Começamos verificando a base da indução, ou seja, para
. O primeiro número ímpar é 1, e a soma dele é 1, que é igual a
. Portanto, a base da indução está ok.
Passo 3
Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum
. Ou seja, suponhamos que a soma dos
primeiros números ímpares é igual a
:
Passo 4
Precisamos provar que a afirmação também é válida para
. Ou seja, que a soma dos
primeiros números ímpares é igual a
. Vamos adicionar o próximo número ímpar, que é
, à soma assumida:
Passo 5
Simplificamos a expressão:
Isso mostra que a soma dos
primeiros números ímpares é igual a
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a soma dos
primeiros números ímpares é igual a
para todo
.