Prove, usando o Princípio da Indução Finita, que as afirmações a seguir são válidas para todo n in N :
(b) A soma dos n primeiros números ímpares é igual a n^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A questão quer que a gente prove, usando o Princípio da Indução Matemática, que a soma dos n primeiros números ímpares é igual a n^2. Para resolver isso, vamos usar a indução matemática, que é uma técnica que nos ajuda a provar proposições para todos os números naturais.

Passo 2

Começamos verificando a base da indução, ou seja, para . O primeiro número ímpar é 1, e a soma dele é 1, que é igual a . Portanto, a base da indução está ok.

Passo 3

Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum . Ou seja, suponhamos que a soma dos k primeiros números ímpares é igual a :

Passo 4

Precisamos provar que a afirmação também é válida para . Ou seja, que a soma dos primeiros números ímpares é igual a . Vamos adicionar o próximo número ímpar, que é , à soma assumida:

Passo 5

Simplificamos a expressão:
Isso mostra que a soma dos primeiros números ímpares é igual a .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a soma dos n primeiros números ímpares é igual a n^2 para todo n in N.

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