Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ; ou seja, calcule o fluxo de através de .
é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro e pelos planos e

Passo 1

Vamos entender o que precisa ser feito! Queremos calcular a integral de superfície , ou seja, o fluxo do campo vetorial através da superfície . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que transforma a integral de superfície em uma integral de volume, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

O Teorema da Divergente nos diz que:
Aqui, é o volume delimitado pela superfície , e é a divergente de . Então, nosso primeiro passo é calcular a divergente de .

Passo 3

Vamos calcular a divergente de :
A divergente é dada por:
Calculando cada termo:
  1. (pois não depende de )
Então,

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral de volume usando a divergente que encontramos:
Observando a descrição de , o volume é delimitado pelo cilindro e pelos planos e . Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Nesse sistema, varia de 0 a 1 (raio do cilindro), de 0 a , e de -1 a 2. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 5

Substituindo na integral:
Aqui, usamos que . Simplificando:
Agora, integramos passo a passo:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :
Multiplicando tudo:

Resposta

O fluxo de através de é .

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Prove, usando o Princípio da Indução Finita, que as afirmações a seguir são válidas para todo :
(b) A soma dos primeiros números ímpares é igual a .
Sejam conjuntos quaisquer. Prove as seguintes afirmações:
(f) .
Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ; ou seja, calcule o fluxo de através de .
é a esfera com centro na origem e raio
Calcule a derivada das seguintes funções: $© (1,0 ponto)