Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
F(x, y, z)=3 x y^2 i+x e^2 j+z^3 k, S é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro y^2+z^2=1 e pelos planos x=-1 e x=2

Passo 1

Vamos entender o que precisa ser feito! Queremos calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, ou seja, o fluxo do campo vetorial F através da superfície S. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que transforma a integral de superfície em uma integral de volume, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

O Teorema da Divergente nos diz que:
integral duplaS F cdot d S = integral triplaV nabla cdot F , dV
Aqui, V é o volume delimitado pela superfície S, e nabla cdot F é a divergente de F. Então, nosso primeiro passo é calcular a divergente de F.

Passo 3

Vamos calcular a divergente de F:
F(x, y, z) = 3xy^2 i + x e^2 j + z^3 k
A divergente é dada por:
nabla cdot F = partialpartial x(3xy^2) + partialpartial y(x e^2) + partialpartial z(z^3)
Calculando cada termo:
  1. partialpartial x(3xy^2) = 3y^2
  2. partialpartial y(x e^2) = 0 (pois x e^2 não depende de y)
  3. partialpartial z(z^3) = 3z^2
Então,
nabla cdot F = 3y^2 + 0 + 3z^2 = 3(y^2 + z^2)

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral de volume usando a divergente que encontramos:
integral triplaV 3(y^2 + z^2) , dV
Observando a descrição de S, o volume V é delimitado pelo cilindro y^2 + z^2 = 1 e pelos planos x = -1 e x = 2. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
y = r costheta z = r sintheta x = x
Nesse sistema, r varia de 0 a 1 (raio do cilindro), theta de 0 a 2pi, e x de -1 a 2. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r , dr , dtheta , dx.

Passo 5

Substituindo na integral:
integral triplaV 3(y^2 + z^2) , dV = integralx=-1^2 integraltheta=0^2pi integralr=0^1 3(r^2) cdot r , dr , dtheta , dx
Aqui, usamos que y^2 + z^2 = r^2. Simplificando:
3 integral-1^2 integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta , dx
Agora, integramos passo a passo:
  1. Integral em r:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
  1. Integral em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
  1. Integral em x:
integral-1^2 dx = 3
Multiplicando tudo:
3 times 14 times 2pi times 3 = 18pi4 = 9pi2

Resposta

O fluxo de F através de S é dfrac9pi2.

Exercícios relacionados