Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ; ou seja, calcule o fluxo de através de . é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro e pelos planos e
Passo 1
Vamos entender o que precisa ser feito! Queremos calcular a integral de superfície , ou seja, o fluxo do campo vetorial através da superfície . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que transforma a integral de superfície em uma integral de volume, facilitando nossos cálculos.
Passo 2
O Teorema da Divergente nos diz que:
Aqui, é o volume delimitado pela superfície , e é a divergente de . Então, nosso primeiro passo é calcular a divergente de .
Passo 3
Vamos calcular a divergente de :
A divergente é dada por:
Calculando cada termo:
(pois não depende de )
Então,
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral de volume usando a divergente que encontramos:
Observando a descrição de , o volume é delimitado pelo cilindro e pelos planos e . Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Nesse sistema, r varia de 0 a 1 (raio do cilindro), theta de 0 a 2pi, e x de -1 a 2. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r , dr , dtheta , dx.
Passo 5
Substituindo na integral:
integral triplaV 3(y^2 + z^2) , dV = integralx=-1^2 integraltheta=0^2pi integralr=0^1 3(r^2) cdot r , dr , dtheta , dx