Prove que se e são autovetores de um operador linear associados a um mesmo autovalor, então a soma também é um autovetor de associado ao mesmo autovalor, desde que e não sejam vetores opostos um ao outro.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um operador linear e dois vetores e que são autovetores desse operador, ambos associados ao mesmo autovalor . O desafio é provar que a soma desses dois vetores, , também é um autovetor de com o mesmo autovalor , desde que e não sejam vetores opostos (ou seja, um não é múltiplo negativo do outro).
Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são autovetores e autovalores, e usar as propriedades dos operadores lineares para manipular essas relações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor e um autovalor. Se é um autovetor de com autovalor , isso significa que quando aplicamos em , o resultado é o próprio vetor multiplicado por . Em outras palavras:
No nosso caso, temos que:

Passo 3

Agora, queremos mostrar que:
Vamos aplicar a propriedade da linearidade do operador . Um operador linear tem a propriedade de que a aplicação dele na soma de vetores é igual à soma das aplicações individuais. Ou seja:

Passo 4

Substituindo as expressões que já conhecemos para e :
Fatorando em comum:

Passo 5

Então, vimos que:
Isso significa que satisfaz a definição de ser um autovetor de com autovalor , desde que não seja o vetor zero.

Passo 6

O exercício também menciona que e não são vetores opostos. Se fossem opostos, seria o vetor zero, que não é considerado um autovetor válido (pois autovetores não podem ser o vetor zero). Então, a condição de que e não sejam opostos garante que não seja o vetor zero e, portanto, é um autovetor válido.

Resposta

Portanto, se e são autovetores do operador linear associados ao mesmo autovalor e não são vetores opostos, então a soma também é um autovetor de com o autovalor .

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