Prove que se
e
são autovetores de um operador linear
associados a um mesmo autovalor, então a soma
também é um autovetor de
associado ao mesmo autovalor, desde que
e
não sejam vetores opostos um ao outro.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um operador linear
e dois vetores
e
que são autovetores desse operador, ambos associados ao mesmo autovalor
. O desafio é provar que a soma desses dois vetores,
, também é um autovetor de
com o mesmo autovalor
, desde que
e
não sejam vetores opostos (ou seja, um não é múltiplo negativo do outro).
Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são autovetores e autovalores, e usar as propriedades dos operadores lineares para manipular essas relações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor e um autovalor. Se
é um autovetor de
com autovalor
, isso significa que quando aplicamos
em
, o resultado é o próprio vetor
multiplicado por
. Em outras palavras:
No nosso caso, temos que:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que:
Vamos aplicar a propriedade da linearidade do operador
. Um operador linear tem a propriedade de que a aplicação dele na soma de vetores é igual à soma das aplicações individuais. Ou seja:
Passo 4
Substituindo as expressões que já conhecemos para
e
:
Fatorando
em comum:
Passo 5
Então, vimos que:
Isso significa que
satisfaz a definição de ser um autovetor de
com autovalor
, desde que
não seja o vetor zero.
Passo 6
O exercício também menciona que
e
não são vetores opostos. Se fossem opostos,
seria o vetor zero, que não é considerado um autovetor válido (pois autovetores não podem ser o vetor zero). Então, a condição de que
e
não sejam opostos garante que
não seja o vetor zero e, portanto, é um autovetor válido.
Resposta
Portanto, se
e
são autovetores do operador linear
associados ao mesmo autovalor
e não são vetores opostos, então a soma
também é um autovetor de
com o autovalor
.
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Determine se a expressão faz sentido matemático. Se não fizer, explique.
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Calcule a expressão dada com
e
.
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