Sejam as matrizes C e D abaixo, quais os valores de x e y para que tenhamos C D=D C ?
C=[ll 3 & x 1 & y ] e D=[ll 3 & 4 2 & 5 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes, C e D, e queremos descobrir os valores de x e y que fazem com que C D = D C. Isso envolve o conteúdo de multiplicação de matrizes e comutatividade. Para resolver isso, vamos multiplicar as matrizes em ambas as ordens e igualar os resultados, o que vai nos dar um sistema de equações para encontrar x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar C por D. Lembrando que, para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somamos os resultados.
C D = 3 & x 1 & y 3 & 4 2 & 5 = 3 times 3 + x times 2 & 3 times 4 + x times 5 1 times 3 + y times 2 & 1 times 4 + y times 5 = 9 + 2x & 12 + 5x 3 + 2y & 4 + 5y

Passo 3

Agora, vamos multiplicar D por C da mesma forma:
D C = 3 & 4 2 & 5 3 & x 1 & y = 3 times 3 + 4 times 1 & 3 times x + 4 times y 2 times 3 + 5 times 1 & 2 times x + 5 times y = 9 + 4 & 3x + 4y 6 + 5 & 2x + 5y = 13 & 3x + 4y 11 & 2x + 5y

Passo 4

Queremos que C D = D C. Então, vamos igualar as correspondentes entradas das duas matrizes resultantes:
9 + 2x = 13 12 + 5x = 3x + 4y 3 + 2y = 11 4 + 5y = 2x + 5y

Passo 5

Agora, vamos resolver cada equação:
  1. Primeira equação: 9 + 2x = 13
    • Subtraindo 9 de ambos os lados: 2x = 4
    • Dividindo por 2: x = 2
  2. Terceira equação: 3 + 2y = 11
    • Subtraindo 3 de ambos os lados: 2y = 8
    • Dividindo por 2: y = 4

Passo 6

Vamos verificar se os valores encontrados satisfazem as outras equações:
  1. Segunda equação: 12 + 5(2) = 3(2) + 4(4)
    • Calculando: 12 + 10 = 6 + 16
    • 22 = 22 ✔️
  2. Quarta equação: 4 + 5(4) = 2(2) + 5(4)
    • Calculando: 4 + 20 = 4 + 20
    • 24 = 24 ✔️

Resposta

Os valores que satisfazem C D = D C s��o x = 2 e y = 4.

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