Seja LI, com 1 <= n <= 3. A igualdade alpha1 v1+alpha2 v2+ldots+alphan vn=beta1 v1+beta2 v2+ldots+betan vn
só é válida se alpha1=beta1, alpha2=beta2, ldots, alphan=betan.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se tivermos um conjunto de vetores alpha1 v1 + alpha2 v2 + ldots + alphan vn = beta1 v1 + beta2 v2 + ldots + betan vn que são linearmente independentes (LI) e é entre 1 e 3, então a igualdade
só vale se , , e assim por diante até . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto de vetores linearmente independentes e como isso afeta as combinações lineares desses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que os vetores c1 v1 + c2 v2 + ldots + cn vn = 0, são linearmente independentes. Isso quer dizer que a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se
então necessariamente .
Passo 3
Agora, vamos voltar à igualdade dada no exercício:
Como sabemos que os vetores alpha1 - beta1 = 0, alpha2 - beta2 = 0, ldots, alphan - betan = 0 são linearmente independentes, a única solução para essa equação é que todos os coeficientes sejam zero. Ou seja: