Seja (v1, v2, ldots, vn) LI, com 1 <= n <= 3. A igualdade
alpha1 v1+alpha2 v2+ldots+alphan vn=beta1 v1+beta2 v2+ldots+betan vn
só é válida se alpha1=beta1, alpha2=beta2, ldots, alphan=betan.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se tivermos um conjunto de vetores alpha1 v1 + alpha2 v2 + ldots + alphan vn = beta1 v1 + beta2 v2 + ldots + betan vn que são linearmente independentes (LI) e é entre 1 e 3, então a igualdade
só vale se , , e assim por diante até . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto de vetores linearmente independentes e como isso afeta as combinações lineares desses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que os vetores c1 v1 + c2 v2 + ldots + cn vn = 0, são linearmente independentes. Isso quer dizer que a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se
então necessariamente .

Passo 3

Agora, vamos voltar à igualdade dada no exercício:
alpha1 v1 + alpha2 v2 + ldots + alphan vn = beta1 v1 + beta2 v2 + ldots + betan vn
Para facilitar a análise, vamos trazer todos os vetores para um lado da igualdade. Subtraímos o lado direito do lado esquerdo:
alpha1 v1 + alpha2 v2 + ldots + alphan vn - beta1 v1 - beta2 v2 - ldots - betan vn = 0

Passo 4

Agora, vamos agrupar os coeficientes de cada vetor:
(alpha1 - beta1) v1 + (alpha2 - beta2) v2 + ldots + (alphan - betan) vn = 0

Passo 5

Como sabemos que os vetores alpha1 - beta1 = 0, alpha2 - beta2 = 0, ldots, alphan - betan = 0 são linearmente independentes, a única solução para essa equação é que todos os coeficientes sejam zero. Ou seja:

Passo 6

Resolvendo cada equação acima, temos que:
alpha1 = beta1, alpha2 = beta2, ldots, alphan = betan

Resposta

Portanto, mostramos que a igualdade só é válida se , , até .

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