Sabendo que está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação onde está definido de forma implícita em termos de . A equação é:
O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é quando a gente tem definido de maneira que não está só de um lado isolado. Vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais, trigonométricas e lidar com que depende de .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo:

Passo 3

Vamos começar com o lado esquerdo da equação: .
Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores multiplicados é a derivada do primeiro pelo segundo, mais o primeiro pela derivada do segundo.
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
Como é função de , usamos a regra da cadeia. A derivada de é .
  1. Derivada de em relação a :
Sabemos que a derivada de é .
Então, substituindo:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos para o lado direito da equação: .
A derivada de em relação a é 1, e a derivada de em relação a é .
Então:

Passo 6

Agora, juntamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é resolver essa equação para .

Passo 7

Vamos isolar os termos com de um lado e os demais termos do outro:
Fatorando no lado esquerdo:

Passo 8

Agora, para encontrar , basta dividir ambos os lados pela fator que está multiplicando :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Prove que: Se então
Use as regras de derivação para provar que: se
Sabendo que está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule :
Sabendo que a diferencial é definida por , calcular as diferenciais das equações dadas: