Sabendo que
está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação onde
está definido de forma implícita em termos de
. A equação é:
O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é quando a gente tem
definido de maneira que não está só de um lado isolado. Vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais, trigonométricas e lidar com
que depende de
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo:
Passo 3
Vamos começar com o lado esquerdo da equação:
.
Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores multiplicados é a derivada do primeiro pelo segundo, mais o primeiro pela derivada do segundo.
Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar cada parte:
- Derivada de
em relação a :
Como
é função de
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
.
- Derivada de
em relação a :
Sabemos que a derivada de
é
.
Então, substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos para o lado direito da equação:
.
A derivada de
em relação a
é 1, e a derivada de
em relação a
é
.
Então:
Passo 6
Agora, juntamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é resolver essa equação para
.
Passo 7
Vamos isolar os termos com
de um lado e os demais termos do outro:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 8
Agora, para encontrar
, basta dividir ambos os lados pela fator que está multiplicando
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Prove que: Se
então
Use as regras de derivação para provar que:
se
Sabendo que
está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule
:
Sabendo que a diferencial é definida por
, calcular as diferenciais das equações dadas: