Sabendo que está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que relaciona e : . Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a , que é . Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é quando a função está misturada com na equação e a gente precisa derivar tudo em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar o lado esquerdo da equação: . Aqui, temos um produto de duas funções, então vamos aplicar a Regra do Produto da derivada. A regra diz que a derivada de é .
Então, seja e :

Passo 3

Vamos derivar cada parte:
  • A derivada de em relação a é , usando a Regra da Cadeia, já que é função de .
  • A derivada de é .
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito da equação: . Aqui também temos um produto, então aplicamos novamente a Regra do Produto.
Seja e :
Ou seja:

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes derivadas:

Passo 6

Vamos reorganizar para isolar . Primeiro, movemos todos os termos com para um lado e os demais para o outro:

Passo 7

Agora, fatoramos do lado esquerdo:

Passo 8

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A derivada é:

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Sabendo que está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule :
Prove que: Se então
Sabendo que a diferencial é definida por , calcular as diferenciais das equações dadas:
Sabendo que a diferencial é definida por , calcular as diferenciais das equações dadas: