Sabendo que
está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que relaciona
e
: . Nosso objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é quando a função
está misturada com
na equação e a gente precisa derivar tudo em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar o lado esquerdo da equação: . Aqui, temos um produto de duas funções, então vamos aplicar a Regra do Produto da derivada. A regra diz que a derivada de
é
.
Então, seja
e :
Passo 3
Vamos derivar cada parte:
- A derivada de
em relação a é , usando a Regra da Cadeia, já que é função de . - A derivada de é
.
Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito da equação:
. Aqui também temos um produto, então aplicamos novamente a Regra do Produto.
Seja
e
:
Ou seja:
Passo 5
Agora, juntamos as duas partes derivadas:
Passo 6
Vamos reorganizar para isolar
. Primeiro, movemos todos os termos com
para um lado e os demais para o outro:
Passo 7
Agora, fatoramos
do lado esquerdo:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A derivada
é:
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Sabendo que
está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule
:
Prove que: Se
então
Sabendo que a diferencial é definida por
, calcular as diferenciais das equações dadas:
Sabendo que a diferencial é definida por
, calcular as diferenciais das equações dadas: