Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
a-)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de variáveis separáveis que você enviou:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que pode ser reorganizada para separar as variáveis e . Isso significa que vamos isolar todos os termos com de um lado e os termos com do outro, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar isolado. Podemos fazer isso movendo o termo para o outro lado:

Passo 3

Agora, vamos dividir ambos os lados por e por para separar as variáveis:
Aqui, usamos o fato de que .

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é .

Passo 5

Realizando as integrações, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar , vamos resolver a equação exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar para uma nova constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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É verdadeiro ou falso?
Se para todo e , então o raio de convergência da série é igual a .
Prove que é uma solução da equação diferencial dada:
(a)
Questão 3 [2,5 pontos] A temperatura em um ponto é , medida em graus Celsius. Um inseto rasteja, de modo que sua posição após segundos é dada por , onde e são medidos em centímetros. A função da temperatura satisfaz e . Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de oito segundos?
É verdadeiro ou falso?
Se , então no interior do intervalo de convergência de .