Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
a-)
a-)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de variáveis separáveis que você enviou:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que pode ser reorganizada para separar as variáveis
e
. Isso significa que vamos isolar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
isolado. Podemos fazer isso movendo o termo
para o outro lado:
Passo 3
Agora, vamos dividir ambos os lados por
e por
para separar as variáveis:
Aqui, usamos o fato de que
.
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
.
Passo 5
Realizando as integrações, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar
, vamos resolver a equação exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar
para uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
É verdadeiro ou falso?
Se para todo
e
, então o raio de convergência da série
é igual a
.
Se
Prove que
é uma solução da equação diferencial dada:
(a)
(a)
Questão 3 [2,5 pontos] A temperatura em um ponto
é
, medida em graus Celsius. Um inseto rasteja, de modo que sua posição após
segundos é dada por
, onde
e
são medidos em centímetros. A função da temperatura satisfaz
e
. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de oito segundos?
É verdadeiro ou falso?
Se , então
no interior do intervalo de convergência de
.
Se