Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
a-)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de variáveis separáveis que você enviou:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que pode ser reorganizada para separar as variáveis
e
. Isso significa que vamos isolar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
isolado. Podemos fazer isso movendo o termo
para o outro lado:
Passo 3
Agora, vamos dividir ambos os lados por
e por
para separar as variáveis:
Aqui, usamos o fato de que
.
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
.
Passo 5
Realizando as integrações, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar
, vamos resolver a equação exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar
para uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.