Verifique se Q[raiz5] e Q[raiz7] são aneis isomorfos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se os anéis Q[raiz5] e Q[raiz7] são isomorfos. Isso está dentro da matéria de Álgebras de Anéis e Campos, especificamente tratando de extensões de corpos e isomorfismos de anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são extensões de corpos e o que significa dois anéis serem isomorfos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são Q[raiz5] e Q[raiz7]. Esses são exemplos de extensões de corpos, ou seja, são corpos maiores que o corpo dos números racionais Q, obtidos ao adicionar a raiz quadrada de 5 e 7, respectivamente. Em termos simples, esses anéis contêm todos os números que podem ser escritos na forma a + braiz5 ou a + braiz7, onde a e b são racionais.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre isomorfismo de anéis. Dois anéis são isomorfos se existe uma função bijetora entre eles que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, podemos “reorganizar” um anel para que ele tenha a mesma estrutura do outro sem perder suas propriedades básicas.

Passo 4

Para verificar se Q[raiz5] e Q[raiz7] são isomorfos, vamos analisar suas estruturas. Ambos são extensões de grau 2 sobre Q, mas isso não garante que sejam isomorfos. Precisamos ver se existe um mapeamento que preserve as operações entre eles.
Um ponto chave aqui são os polinômios mínimos de raiz5 e raiz7 sobre Q. O polinômio mínimo de raiz5 é x^2 - 5, e o de raiz7 é x^2 - 7. Para que exista um isomorfismo, esses polinômios precisariam, de certa forma, ter a mesma estrutura nas extensões, o que não acontece aqui porque 5 e 7 são diferentes e levam a diferentes propriedades nos anéis.
Além disso, características como unidades e ideais nos anéis podem diferir, reforçando que não há um mapeamento que preserve todas as propriedades necessárias para um isomorfismo.

Resposta

Então, Q[raiz5] e Q[raiz7] não são anéis isomorfos.

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