Verifique se
e
são aneis isomorfos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se os anéis
e
são isomorfos. Isso está dentro da matéria de Álgebras de Anéis e Campos, especificamente tratando de extensões de corpos e isomorfismos de anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são extensões de corpos e o que significa dois anéis serem isomorfos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são
e
. Esses são exemplos de extensões de corpos, ou seja, são corpos maiores que o corpo dos números racionais
, obtidos ao adicionar a raiz quadrada de 5 e 7, respectivamente. Em termos simples, esses anéis contêm todos os números que podem ser escritos na forma
ou
, onde
e
são racionais.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre isomorfismo de anéis. Dois anéis são isomorfos se existe uma função bijetora entre eles que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, podemos “reorganizar” um anel para que ele tenha a mesma estrutura do outro sem perder suas propriedades básicas.
Passo 4
Para verificar se
e
são isomorfos, vamos analisar suas estruturas. Ambos são extensões de grau 2 sobre
, mas isso não garante que sejam isomorfos. Precisamos ver se existe um mapeamento que preserve as operações entre eles.
Um ponto chave aqui são os polinômios mínimos de
e
sobre
. O polinômio mínimo de
é
, e o de
é
. Para que exista um isomorfismo, esses polinômios precisariam, de certa forma, ter a mesma estrutura nas extensões, o que não acontece aqui porque 5 e 7 são diferentes e levam a diferentes propriedades nos anéis.
Além disso, características como unidades e ideais nos anéis podem diferir, reforçando que não há um mapeamento que preserve todas as propriedades necessárias para um isomorfismo.
Resposta
Então,
e
não são anéis isomorfos.