Verifique se e são aneis isomorfos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se os anéis e são isomorfos. Isso está dentro da matéria de Álgebras de Anéis e Campos, especificamente tratando de extensões de corpos e isomorfismos de anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são extensões de corpos e o que significa dois anéis serem isomorfos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e . Esses são exemplos de extensões de corpos, ou seja, são corpos maiores que o corpo dos números racionais , obtidos ao adicionar a raiz quadrada de 5 e 7, respectivamente. Em termos simples, esses anéis contêm todos os números que podem ser escritos na forma ou , onde e são racionais.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre isomorfismo de anéis. Dois anéis são isomorfos se existe uma função bijetora entre eles que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, podemos “reorganizar” um anel para que ele tenha a mesma estrutura do outro sem perder suas propriedades básicas.

Passo 4

Para verificar se e são isomorfos, vamos analisar suas estruturas. Ambos são extensões de grau 2 sobre , mas isso não garante que sejam isomorfos. Precisamos ver se existe um mapeamento que preserve as operações entre eles.
Um ponto chave aqui são os polinômios mínimos de e sobre . O polinômio mínimo de é , e o de é . Para que exista um isomorfismo, esses polinômios precisariam, de certa forma, ter a mesma estrutura nas extensões, o que não acontece aqui porque 5 e 7 são diferentes e levam a diferentes propriedades nos anéis.
Além disso, características como unidades e ideais nos anéis podem diferir, reforçando que não há um mapeamento que preserve todas as propriedades necessárias para um isomorfismo.

Resposta

Então, e não são anéis isomorfos.

Exercícios relacionados

Seja homomorfismo de aneis. Prove que se é subanel (ideal) de é subanel (ideal) de . (Observação: Lembre que .)
Seja um anel qualquer. Mostre que , dada por é homomorfismo. Conclua que é subanel de .
Verifique se , dada por , é um isomorfismo de aneis.
Prove que e não são aneis isomorfos.