Verifique se
ou
é subgrupo do grupo multiplicativo
das matrizes de ordem 2 inversíveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de teoria de grupos, especificamente sobre subgrupos dentro do grupo multiplicativo das matrizes 2x2 inversíveis com entradas reais, que é denotado por
. O objetivo é verificar se os conjuntos
ou
são subgrupos desse grupo maior. Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios que definem um subgrupo e aplicar isso aos conjuntos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar os critérios para ser um subgrupo de um grupo maior. Para um conjunto ser considerado um subgrupo, ele precisa satisfazer três condições básicas:
- Não vazio: O conjunto deve ter pelo menos um elemento.
- Fechado sob a operação do grupo: Se você pegar dois elementos quaisquer do conjunto e aplicar a operação do grupo (no caso, multiplicação de matrizes), o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado sob inversos: Para todo elemento do conjunto, seu inverso (no sentido do grupo) também deve estar no conjunto.
Vamos usar esses critérios para verificar os conjuntos
e
.
Passo 3
Analisando o conjunto
:
O conjunto
é definido como:
- Não vazio: Sim, por exemplo, a matriz com
e está em . - Fechado sob a operação: Vamos multiplicar duas matrizes de
:
O resultado ainda tem a forma de uma matriz em
, então a multiplicação está fechada.
- Fechado sob inversos: A inversa de uma matriz em
é:
Note que
e
não são zero, então
, e a inversa também tem a forma de uma matriz em
.
Entretanto, o critério
impõe que nem
nem
podem ser zero. Se considerarmos
ou
, a matriz ainda pertence a
se cumprirem a condição
. Porém, isso restringe o conjunto, e ao verificar a existência da identidade (que é a matriz identidade), vemos que:
Para
pertencer a
, precisaríamos que
, mas aqui
, o que não satisfaz a condição. Portanto,
não contém a identidade do grupo, o que já desqualifica
como subgrupo.
Passo 4
Analisando o conjunto
:
O conjunto
é definido como:
- Não vazio: Sim, por exemplo, para
, temos:
- Fechado sob a operação: Multiplicando duas matrizes de
:
O resultado ainda tem a forma de uma matriz em
, então está fechado sob a operação.
- Fechado sob inversos: A inversa de uma matriz em
é:
Que também pertence a
porque
é apenas uma rotação no sentido contrário, mas ainda está na forma definida por
.
Além disso, a identidade
está em
quando
. Portanto, todos os critérios são satisfeitos.
Resposta
Apenas o conjunto
é um subgrupo do grupo multiplicativo
.
Exercícios relacionados
Seja
onde
é dada como na questão anterior. Mostre que
munido com a operação de composição de aplicações é um grupo.
Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
b) definida por
b)
Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
c) definida por
c)
Prove que
é isomorfo a
, onde
é o grupo multiplicativo das raízes da unidade nos complexos.