Verifique se ou é subgrupo do grupo multiplicativo das matrizes de ordem 2 inversíveis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de teoria de grupos, especificamente sobre subgrupos dentro do grupo multiplicativo das matrizes 2x2 inversíveis com entradas reais, que é denotado por . O objetivo é verificar se os conjuntos ou são subgrupos desse grupo maior. Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios que definem um subgrupo e aplicar isso aos conjuntos e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar os critérios para ser um subgrupo de um grupo maior. Para um conjunto ser considerado um subgrupo, ele precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Não vazio: O conjunto deve ter pelo menos um elemento.
  2. Fechado sob a operação do grupo: Se você pegar dois elementos quaisquer do conjunto e aplicar a operação do grupo (no caso, multiplicação de matrizes), o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob inversos: Para todo elemento do conjunto, seu inverso (no sentido do grupo) também deve estar no conjunto.
Vamos usar esses critérios para verificar os conjuntos e .

Passo 3

Analisando o conjunto :
O conjunto é definido como:
  1. Não vazio: Sim, por exemplo, a matriz com e está em .
  2. Fechado sob a operação: Vamos multiplicar duas matrizes de :
O resultado ainda tem a forma de uma matriz em , então a multiplicação está fechada.
  1. Fechado sob inversos: A inversa de uma matriz em é:
Note que e não são zero, então , e a inversa também tem a forma de uma matriz em .
Entretanto, o critério impõe que nem nem podem ser zero. Se considerarmos ou , a matriz ainda pertence a se cumprirem a condição . Porém, isso restringe o conjunto, e ao verificar a existência da identidade (que é a matriz identidade), vemos que:
Para pertencer a , precisaríamos que , mas aqui , o que não satisfaz a condição. Portanto, não contém a identidade do grupo, o que já desqualifica como subgrupo.

Passo 4

Analisando o conjunto :
O conjunto é definido como:
  1. Não vazio: Sim, por exemplo, para , temos:
  1. Fechado sob a operação: Multiplicando duas matrizes de :
O resultado ainda tem a forma de uma matriz em , então está fechado sob a operação.
  1. Fechado sob inversos: A inversa de uma matriz em é:
Que também pertence a porque é apenas uma rotação no sentido contrário, mas ainda está na forma definida por .
Além disso, a identidade está em quando . Portanto, todos os critérios são satisfeitos.

Resposta

Apenas o conjunto é um subgrupo do grupo multiplicativo .

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Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
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