Verifique se A ou B é subgrupo do grupo multiplicativo (G L2(R), cdot) das matrizes de ordem 2 inversíveis.
A=[cc a & b -b & a ] in M2(R) ; a, b in R ; a b neq 0 B=[cc cos theta & sen theta -sen theta & cos theta ] in M2(R) ; theta in R,

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de teoria de grupos, especificamente sobre subgrupos dentro do grupo multiplicativo das matrizes 2x2 inversíveis com entradas reais, que é denotado por . O objetivo é verificar se os conjuntos ou são subgrupos desse grupo maior. Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios que definem um subgrupo e aplicar isso aos conjuntos e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar os critérios para ser um subgrupo de um grupo maior. Para um conjunto ser considerado um subgrupo, ele precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Não vazio: O conjunto deve ter pelo menos um elemento.
  2. Fechado sob a operação do grupo: Se você pegar dois elementos quaisquer do conjunto e aplicar a operação do grupo (no caso, multiplicação de matrizes), o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob inversos: Para todo elemento do conjunto, seu inverso (no sentido do grupo) também deve estar no conjunto.
Vamos usar esses critérios para verificar os conjuntos e .

Passo 3

Analisando o conjunto A = a & b -b & a in M2(R) ; ; ; a, b in R ; ; a b neq 0 :
O conjunto a & b -b & a cdot c & d -d & c = a c - b d & a d + b c -b c - a d & -b (-d) + a c = a c - b d & a d + b c - (a d + b c) & a c - b d é definido como:
a & b -b & a ^-1 = 1a^2 + b^2 a & -b b & a
  1. Não vazio: Sim, por exemplo, a matriz com I = 1 & 0 0 & 1 e está em .
  2. Fechado sob a operação: Vamos multiplicar duas matrizes de :
O resultado ainda tem a forma de uma matriz em , então a multiplicação está fechada.
  1. Fechado sob inversos: A inversa de uma matriz em é:
Note que e não são zero, então , e a inversa também tem a forma de uma matriz em .
Entretanto, o critério impõe que nem nem podem ser zero. Se considerarmos ou , a matriz ainda pertence a se cumprirem a condição . Porém, isso restringe o conjunto, e ao verificar a existência da identidade (que é a matriz identidade), vemos que:
Para pertencer a , precisaríamos que , mas aqui , o que não satisfaz a condição. Portanto, não contém a identidade do grupo, o que já desqualifica como subgrupo.

Passo 4

Analisando o conjunto B = cos theta & sen theta -sen theta & cos theta in M2(R) ; ; ; theta in R :
O conjunto 1 & 0 0 & 1 in B é definido como:
  1. Não vazio: Sim, por exemplo, para cos theta & sen theta -sen theta & cos theta cdot cos phi & sen phi -sen phi & cos phi = cos (theta + phi) & sen (theta + phi) -sen (theta + phi) & cos (theta + phi) , temos:
cos theta & sen theta -sen theta & cos theta ^-1 = cos (-theta) & sen (-theta) -sen (-theta) & cos (-theta) = cos theta & -sen theta sen theta & cos theta
  1. Fechado sob a operação: Multiplicando duas matrizes de :
O resultado ainda tem a forma de uma matriz em , então está fechado sob a operação.
  1. Fechado sob inversos: A inversa de uma matriz em é:
Que também pertence a porque é apenas uma rotação no sentido contrário, mas ainda está na forma definida por .
Além disso, a identidade está em quando . Portanto, todos os critérios são satisfeitos.

Resposta

Apenas o conjunto é um subgrupo do grupo multiplicativo .

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