Provemos agora que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o limite de uma soma polinomial quando x se aproxima de a é igual à soma dos termos com x substituído por a. Aqui, estamos trabalhando com limites e polinômios. Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas de limites e como eles se comportam com somas e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão que temos: . Isso significa que temos um polinômio de grau n, onde cada termo é .

Passo 3

Sabemos que o limite de uma soma é a soma dos limites, desde que todos os limites existam. Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de cada termo individualmente. Como é uma constante, podemos tirá-la de fora do limite:

Passo 5

O próximo passo é calcular o limite de quando x se aproxima de a. Sabemos que:
Isso porque a função potência é contínua em todos os pontos.

Passo 6

Substituindo de volta, temos:

Passo 7

Agora, substituímos todos os limites calculados na soma original:

Resposta

Portanto, provamos que:

Exercícios relacionados

Calcular os limites:
b)
Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o teorema utilizado.
i)
Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o teorema utilizado.
b)
Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o teorema utilizado.
d)