Provemos agora que lim x a[sumi=0^n(ai x^n-i)]=sumi=0^n(ai a^n-i).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o limite de uma soma polinomial quando x se aproxima de a é igual à soma dos termos com x substituído por a. Aqui, estamos trabalhando com limites e polinômios. Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas de limites e como eles se comportam com somas e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão que temos: sumi=0^n(ai x^n-i). Isso significa que temos um polinômio de grau n, onde cada termo é ai x^n-i.

Passo 3

Sabemos que o limite de uma soma é a soma dos limites, desde que todos os limites existam. Ou seja:
limx a [sumi=0^n ai x^n-i ] = sumi=0^n limx a (ai x^n-i)

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de cada termo individualmente. Como ai é uma constante, podemos tirá-la de fora do limite:
limx a (ai x^n-i) = ai cdot limx a x^n-i

Passo 5

O próximo passo é calcular o limite de x^n-i quando x se aproxima de a. Sabemos que:
limx a x^n-i = a^n-i
Isso porque a função potência é contínua em todos os pontos.

Passo 6

Substituindo de volta, temos:
ai cdot limx a x^n-i = ai cdot a^n-i

Passo 7

Agora, substituímos todos os limites calculados na soma original:
sumi=0^n limx a (ai x^n-i) = sumi=0^n (ai a^n-i)

Resposta

Portanto, provamos que:
limx a [sumi=0^n (ai x^n-i)] = sumi=0^n (ai a^n-i)

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