Provemos agora que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o limite de uma soma polinomial quando x se aproxima de a é igual à soma dos termos com x substituído por a. Aqui, estamos trabalhando com limites e polinômios. Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas de limites e como eles se comportam com somas e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão que temos:
. Isso significa que temos um polinômio de grau n, onde cada termo é
.
Passo 3
Sabemos que o limite de uma soma é a soma dos limites, desde que todos os limites existam. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de cada termo individualmente. Como
é uma constante, podemos tirá-la de fora do limite:
Passo 5
O próximo passo é calcular o limite de
quando x se aproxima de a. Sabemos que:
Isso porque a função potência é contínua em todos os pontos.
Passo 6
Substituindo de volta, temos:
Passo 7
Agora, substituímos todos os limites calculados na soma original:
Resposta
Portanto, provamos que:
Exercícios relacionados
Calcular os limites:
b)
b)
Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o teorema utilizado.
i)
i)
Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o teorema utilizado.
b)
b)
Calcule os seguintes limites, especificando em cada passagem a propriedade ou o teorema utilizado.
d)
d)