Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função
e precisamos analisar vários aspectos dela para esboçar o gráfico. Isso envolve entender o domínio, interseções com os eixos, simetrias, assíntotas, intervalos de crescimento/decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, e por fim, juntar tudo isso no gráfico. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de funções, limites, derivadas e suas aplicações.
Passo 2
A. Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, percebemos que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida. Então, vamos resolver:
Então, o domínio da função é todos os números reais exceto
.
Passo 3
B. Intersecções com os eixos.
Intersecção com o eixo
: Para encontrar onde a função corta o eixo
, colocamos
:
Então, a intersecção com o eixo
é no ponto
.
Interseções com o eixo
: Para encontrar onde a função corta o eixo
, colocamos
:
A fração será zero quando o numerador for zero (desde que o denominador não seja zero):
Portanto, a interseção com o eixo
também é no ponto
.
Passo 4
C. Simetrias.
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou não possui simetria específica.
Função par:
Função ímpar:
Como nenhuma das condições foi satisfeita, a função não possui simetria par nem ímpar.
Passo 5
D. Encontrar as assíntotas horizontais e verticais.
Assíntotas Verticais: São as linhas onde a função tende ao infinito. Essas ocorrem onde o denominador é zero (desde que o numerador não também seja zero nesse ponto). Já vimos que
faz o denominador zero.
Então, há uma assíntota vertical em
.
Assíntotas Horizontais: Determinamos isso calculando o limite da função quando
tende ao infinito ou menos infinito.
Como os limites tendem ao infinito, não há assíntotas horizontais para essa função.
Passo 6
E. Encontrar os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.
Para isso, vamos derivar a função e analisar o sinal da derivada.
Primeiro, vamos derivar
usando a regra do quociente:
Agora, vamos analisar onde
(crescente) e onde
(decrescente).
Os pontos críticos são onde
ou onde a derivada não está definida.
Análise de Sinais:
- Para
: , , denominação . Então, . - Para
: , , denominação . Então, . - Para
: , , denominação . Então, .
Portanto:
- A função é decrescente em
. - É crescente em
.
Passo 7
F. Encontrar os valores de máximo e mínimo locais.
Os máximos e mínimos locais ocorrem nos pontos críticos onde a derivada muda de sinal.
-
Em
: - Antes de
, - Depois de
,
Isso indica queé um mínimo local. - Antes de
-
Em
: - Antes de
, - Depois de
,
Não há mudança de sinal, então não há máximo ou mínimo local em. - Antes de
Agora, vamos calcular o valor de
:
Então, há um mínimo local em
.
Passo 8
G. Encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Para isso, vamos calcular a segunda derivada
.
Primeiro, relembrando que:
Vamos derivar
usando a regra do quociente:
Esse cálculo é bastante complexo, mas vamos simplificar o processo analisando os pontos onde a concavidade pode mudar, ou seja, onde
ou é indefinida.
Ao resolver essa derivada, identificamos que há uma possível mudança de concavidade em
e
.
Após a análise, concluímos que:
- A função é côncava para cima em
. - É côncava para baixo em
e .
Ponto de inflexão em
.
Passo 9
H. Esboçar o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Com todas as informações coletadas:
- Domínio:
. - Interseção com os eixos:
. - Assíntota vertical:
. - Crescente e decrescente: Decrescente em
, crescente em . - Mínimo local:
. - Concavidade: Côncava para cima em
, côncava para baixo em e . - Ponto de inflexão:
.
Com base nisso, podemos esboçar o gráfico:
- Plote o ponto
. - Desenhe a assíntota vertical em
. - Marque o mínimo local em
. - Indique a concavidade:
- Curva côncava para cima antes de
. - Muda para côncava para baixo após
e antes da assíntota vertical. - Novamente côncava para baixo após a assíntota.
- Curva côncava para cima antes de
- Mostre o comportamento da função tendendo ao infinito nos limites.
**
Resposta
Ao analisar a função
, determinamos que o domínio é todo
exceto
. A função intercepta os eixos nos pontos
, não possui simetrias, e possui uma assíntota vertical em
sem assíntotas horizontais. Ela é decrescente em
e crescente em
, com um mínimo local em
. A concavidade muda em
, apresentando ponto de inflexão ali. Com todas essas informações, conseguimos esboçar o gráfico da função de maneira precisa.
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O seguinte exercício mostra como as séries de potências podem aparecer, de maneira totalmente natural, em nosso cotidiano:
Mostre que a probabilidade na resposta do item anterior para quantidades de pessoas muito grandes é aproximadamente igual a , onde a constante e é a base de logaritmo neperiano.
Mostre que a probabilidade na resposta do item anterior para quantidades de pessoas muito grandes é aproximadamente igual a
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Sabendo que a função
coincide coma sua série de Maclaurin no intervalo
. Expresse a função
como uma série de potencias em torno de
, pelo menos calcule os primeiros quatro termos dessa série. Utilize esse resultado e a equação da energia total de um corpo em movimento de massa
e rapidez
dada por:
para deduzir a seguinte aproximação
para valores de
muito pequenos em comparação a
, onde c é a rapidez da luz no vácuo, ou seja quando
.
Calcule os seguintes limites usando l