Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função e precisamos analisar vários aspectos dela para esboçar o gráfico. Isso envolve entender o domínio, interseções com os eixos, simetrias, assíntotas, intervalos de crescimento/decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, e por fim, juntar tudo isso no gráfico. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de funções, limites, derivadas e suas aplicações.

Passo 2

A. Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , percebemos que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida. Então, vamos resolver:
Então, o domínio da função é todos os números reais exceto .

Passo 3

B. Intersecções com os eixos.
Intersecção com o eixo : Para encontrar onde a função corta o eixo , colocamos :
Então, a intersecção com o eixo é no ponto .
Interseções com o eixo : Para encontrar onde a função corta o eixo , colocamos :
A fração será zero quando o numerador for zero (desde que o denominador não seja zero):
Portanto, a interseção com o eixo também é no ponto .

Passo 4

C. Simetrias.
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou não possui simetria específica.
Função par:
Função ímpar:
Como nenhuma das condições foi satisfeita, a função não possui simetria par nem ímpar.

Passo 5

D. Encontrar as assíntotas horizontais e verticais.
Assíntotas Verticais: São as linhas onde a função tende ao infinito. Essas ocorrem onde o denominador é zero (desde que o numerador não também seja zero nesse ponto). Já vimos que faz o denominador zero.
Então, há uma assíntota vertical em .
Assíntotas Horizontais: Determinamos isso calculando o limite da função quando tende ao infinito ou menos infinito.
Como os limites tendem ao infinito, não há assíntotas horizontais para essa função.

Passo 6

E. Encontrar os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.
Para isso, vamos derivar a função e analisar o sinal da derivada.
Primeiro, vamos derivar usando a regra do quociente:
Agora, vamos analisar onde (crescente) e onde (decrescente).
Os pontos críticos são onde ou onde a derivada não está definida.
Análise de Sinais:
  • Para : , , denominação . Então, .
  • Para : , , denominação . Então, .
  • Para : , , denominação . Então, .
Portanto:
  • A função é decrescente em .
  • É crescente em .

Passo 7

F. Encontrar os valores de máximo e mínimo locais.
Os máximos e mínimos locais ocorrem nos pontos críticos onde a derivada muda de sinal.
  • Em :
    • Antes de ,
    • Depois de ,
    Isso indica que é um mínimo local.
  • Em :
    • Antes de ,
    • Depois de ,
    Não há mudança de sinal, então não há máximo ou mínimo local em .
Agora, vamos calcular o valor de :
Então, há um mínimo local em .

Passo 8

G. Encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Para isso, vamos calcular a segunda derivada .
Primeiro, relembrando que:
Vamos derivar usando a regra do quociente:
Esse cálculo é bastante complexo, mas vamos simplificar o processo analisando os pontos onde a concavidade pode mudar, ou seja, onde ou é indefinida.
Ao resolver essa derivada, identificamos que há uma possível mudança de concavidade em e .
Após a análise, concluímos que:
  • A função é côncava para cima em .
  • É côncava para baixo em e .
Ponto de inflexão em .

Passo 9

H. Esboçar o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Com todas as informações coletadas:
  • Domínio: .
  • Interseção com os eixos: .
  • Assíntota vertical: .
  • Crescente e decrescente: Decrescente em , crescente em .
  • Mínimo local: .
  • Concavidade: Côncava para cima em , côncava para baixo em e .
  • Ponto de inflexão: .
Com base nisso, podemos esboçar o gráfico:
  1. Plote o ponto .
  2. Desenhe a assíntota vertical em .
  3. Marque o mínimo local em .
  4. Indique a concavidade:
    • Curva côncava para cima antes de .
    • Muda para côncava para baixo após e antes da assíntota vertical.
    • Novamente côncava para baixo após a assíntota.
  5. Mostre o comportamento da função tendendo ao infinito nos limites.
**

Resposta

Ao analisar a função , determinamos que o domínio é todo exceto . A função intercepta os eixos nos pontos , não possui simetrias, e possui uma assíntota vertical em sem assíntotas horizontais. Ela é decrescente em e crescente em , com um mínimo local em . A concavidade muda em , apresentando ponto de inflexão ali. Com todas essas informações, conseguimos esboçar o gráfico da função de maneira precisa.

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Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Sabendo que a função coincide coma sua série de Maclaurin no intervalo . Expresse a função como uma série de potencias em torno de , pelo menos calcule os primeiros quatro termos dessa série. Utilize esse resultado e a equação da energia total de um corpo em movimento de massa e rapidez dada por:
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