Sabendo que a função
coincide coma sua série de Maclaurin no intervalo
. Expresse a função
como uma série de potencias em torno de
, pelo menos calcule os primeiros quatro termos dessa série. Utilize esse resultado e a equação da energia total de um corpo em movimento de massa
e rapidez
dada por:
para deduzir a seguinte aproximação
para valores de
muito pequenos em comparação a
, onde c é a rapidez da luz no vácuo, ou seja quando
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar sua série de Maclaurin, que é uma expansão em potências de
ao redor de
. Além disso, usaremos essa série para simplificar a equação da energia total
de um corpo em movimento quando a velocidade
é muito menor que a velocidade da luz
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as séries de potências e como elas podem ser aplicadas em física.
Passo 2
Vamos começar encontrando a série de Maclaurin para
. A série de Maclaurin é uma expansão em torno de
e pode ser representada da seguinte forma:
onde
são os coeficientes que precisamos determinar. Para
, a série de Maclaurin é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Vamos calcular os primeiros quatro termos dessa série. Sabemos que:
Calculando para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto, os primeiros quatro termos são:
Passo 4
Agora, vamos usar essa série na equação da energia total:
Podemos reescrever o denominador como:
Assim, a equação da energia fica:
Comparando com a série de Maclaurin que encontramos:
Substituindo
:
Passo 5
Para velocidades muito pequenas comparadas a
, ou seja, quando
, os termos de ordem superior (
e além) se tornam negligenciáveis. Portanto, podemos aproximar a energia total considerando apenas os dois primeiros termos:
Distribuindo
:
Essa é a aproximação desejada para a energia total quando
é muito menor que
.
Resposta
A aproximação da energia total para
muito menor que
é: