Sabendo que a função coincide coma sua série de Maclaurin no intervalo . Expresse a função como uma série de potencias em torno de , pelo menos calcule os primeiros quatro termos dessa série. Utilize esse resultado e a equação da energia total de um corpo em movimento de massa e rapidez dada por:
para deduzir a seguinte aproximação
para valores de muito pequenos em comparação a , onde c é a rapidez da luz no vácuo, ou seja quando .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar sua série de Maclaurin, que é uma expansão em potências de ao redor de . Além disso, usaremos essa série para simplificar a equação da energia total de um corpo em movimento quando a velocidade é muito menor que a velocidade da luz . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as séries de potências e como elas podem ser aplicadas em física.

Passo 2

Vamos começar encontrando a série de Maclaurin para . A série de Maclaurin é uma expansão em torno de e pode ser representada da seguinte forma:
onde são os coeficientes que precisamos determinar. Para , a série de Maclaurin é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 3

Vamos calcular os primeiros quatro termos dessa série. Sabemos que:
Calculando para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Portanto, os primeiros quatro termos são:

Passo 4

Agora, vamos usar essa série na equação da energia total:
Podemos reescrever o denominador como:
Assim, a equação da energia fica:
Comparando com a série de Maclaurin que encontramos:
Substituindo :

Passo 5

Para velocidades muito pequenas comparadas a , ou seja, quando , os termos de ordem superior ( e além) se tornam negligenciáveis. Portanto, podemos aproximar a energia total considerando apenas os dois primeiros termos:
Distribuindo :
Essa é a aproximação desejada para a energia total quando é muito menor que .

Resposta

A aproximação da energia total para muito menor que é:

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Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
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