Sabendo que a função f(x)=(1-x)^(-1/2) coincide coma sua série de Maclaurin no intervalo (-1, 1). Expresse a função f como uma série de potencias em torno de x = 0, pelo menos calcule os primeiros quatro termos dessa série. Utilize esse resultado e a equação da energia total de um corpo em movimento de massa m0 e rapidez v dada por:
E = (m0 * c^2) / raiz(1 - (v^2 / c^2))
para deduzir a seguinte aproximação
E ≈ m0 c^2 + 1/2 m0 v^2
para valores de v muito pequenos em comparação a c, onde c é a rapidez da luz no vácuo, ou seja quando v/c ≈ 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar sua série de Maclaurin, que é uma expansão em potências de ao redor de . Além disso, usaremos essa série para simplificar a equação da energia total de um corpo em movimento quando a velocidade é muito menor que a velocidade da luz . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as séries de potências e como elas podem ser aplicadas em física.

Passo 2

Vamos começar encontrando a série de Maclaurin para . A série de Maclaurin é uma expansão em torno de e pode ser representada da seguinte forma:
onde são os coeficientes que precisamos determinar. Para , a série de Maclaurin é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 3

Vamos calcular os primeiros quatro termos dessa série. Sabemos que:
Calculando para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Portanto, os primeiros quatro termos são:

Passo 4

Agora, vamos usar essa série na equação da energia total:
Podemos reescrever o denominador como:
Assim, a equação da energia fica:
Comparando com a série de Maclaurin que encontramos:
Substituindo :

Passo 5

Para velocidades muito pequenas comparadas a , ou seja, quando , os termos de ordem superior ( e além) se tornam negligenciáveis. Portanto, podemos aproximar a energia total considerando apenas os dois primeiros termos:
Distribuindo :
Essa é a aproximação desejada para a energia total quando é muito menor que .

Resposta

A aproximação da energia total para muito menor que é:

Exercícios relacionados