Se a energia for medida, quais são os resultados possíveis e qual é a probabilidade de obter cada resultado? Qual é a energia mais provável para esse estado?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda que é uma combinação de diferentes senos. O conteúdo relacionado aqui é a mecânica quântica, especificamente sobre superposição de estados de energia. Para resolver isso, precisamos identificar os possíveis valores de energia que podem ser medidos e calcular a probabilidade de cada um desses valores ocorrer. Além disso, vamos descobrir qual desses valores de energia é o mais provável.
Passo 2
Primeiro, observamos que a função de onda está escrita como uma soma de termos que envolvem senos com diferentes múltiplos de . Cada um desses termos representa um estado de energia estacionária com uma energia específica , onde é um número inteiro que indica o nível de energia.
Passo 3
Para cada termo da função de onda, identificamos o número quântico . No nosso caso, temos três termos:
corresponde a ,
corresponde a ,
corresponde a .
Passo 4
A energia de cada estado estacionário é dada pela fórmula:
onde:
é o número quântico,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é o comprimento da caixa.
Cada valor de nos dá uma energia diferente .
Passo 5
Agora, vamos identificar as coeficientes de cada termo na função de onda , que representam a amplitude de probabilidade para cada estado de energia:
Para :
Para :
Para :
Passo 6
A probabilidade de medir cada energia é o quadrado do módulo do coeficiente correspondente. Vamos calcular:
Probabilidade para :
Probabilidade para :
Probabilidade para :
Passo 7
Para garantir que as probabilidades somem 1 (o que deve acontecer, já que a função de onda está normalizada), somamos todas as probabilidades:
Isso indica que podemos precisar normalizar a função de onda ou ajustar os coeficientes, mas para simplificação, assumimos que as probabilidades estão relativas e seguimos com as proporções.
Passo 8
Com base nas probabilidades calculadas, vemos que:
tem a maior probabilidade (),
e têm menores probabilidades ( cada).
Resposta
Os possíveis resultados de energia são , e com as seguintes probabilidades:
com probabilidade ,
com probabilidade ,
com probabilidade .
A energia mais provável para esse estado é .