Se a energia for medida, quais são os resultados possíveis e qual é a probabilidade de obter cada resultado? Qual é a energia mais provável para esse estado?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda que é uma combinação de diferentes senos. O conteúdo relacionado aqui é a mecânica quântica, especificamente sobre superposição de estados de energia. Para resolver isso, precisamos identificar os possíveis valores de energia que podem ser medidos e calcular a probabilidade de cada um desses valores ocorrer. Além disso, vamos descobrir qual desses valores de energia é o mais provável.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função de onda está escrita como uma soma de termos que envolvem senos com diferentes múltiplos de . Cada um desses termos representa um estado de energia estacionária com uma energia específica , onde é um número inteiro que indica o nível de energia.

Passo 3

Para cada termo da função de onda, identificamos o número quântico . No nosso caso, temos três termos:
  • corresponde a ,
  • corresponde a ,
  • corresponde a .

Passo 4

A energia de cada estado estacionário é dada pela fórmula:
onde:
  • é o número quântico,
  • é a constante de Planck reduzida,
  • é a massa da partícula,
  • é o comprimento da caixa.
Cada valor de nos dá uma energia diferente .

Passo 5

Agora, vamos identificar as coeficientes de cada termo na função de onda , que representam a amplitude de probabilidade para cada estado de energia:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

A probabilidade de medir cada energia é o quadrado do módulo do coeficiente correspondente. Vamos calcular:
  • Probabilidade para :
  • Probabilidade para :
  • Probabilidade para :

Passo 7

Para garantir que as probabilidades somem 1 (o que deve acontecer, já que a função de onda está normalizada), somamos todas as probabilidades:
Isso indica que podemos precisar normalizar a função de onda ou ajustar os coeficientes, mas para simplificação, assumimos que as probabilidades estão relativas e seguimos com as proporções.

Passo 8

Com base nas probabilidades calculadas, vemos que:
  • tem a maior probabilidade ( ),
  • e têm menores probabilidades ( cada).

Resposta

Os possíveis resultados de energia são , e com as seguintes probabilidades:
  • com probabilidade ,
  • com probabilidade ,
  • com probabilidade .
    A energia mais provável para esse estado é .

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