Aplique o Teste da Razão e estude a convergência da série .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma série infinita e precisamos usar o Teste da Razão para ver se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar esse teste e fazer alguns cálculos com fatorias!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Basicamente, a gente calcula o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série, ou seja:
Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste não dá uma resposta clara.
Passo 3
Vamos calcular essa razão para nossa série. Primeiro, identifiquemos e :
Agora, vamos calcular :
Simplificando os fatoriais:
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando tende ao infinito: