(1,0 pt) Aplique o Teste da Razão e estude a convergência da série sumn=1^infty (2 n) !n ! n !.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma série infinita e precisamos usar o Teste da Razão para ver se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar esse teste e fazer alguns cálculos com fatorias!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Basicamente, a gente calcula o limite L = limn to infty | an+1an | da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série, ou seja:
Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste não dá uma resposta clara.

Passo 3

Vamos calcular essa razão para nossa série. Primeiro, identifiquemos an = (2n)!n! , n! e an+1 = (2(n+1))!(n+1)! , (n+1)! e an+1an = (2n + 2)!(n + 1)! , (n + 1)! times n! , n!(2n)! :
(2n + 2)! = (2n + 2)(2n + 1)(2n)! (n + 1)! = (n + 1) times n!
Agora, vamos calcular an+1an = (2n + 2)(2n + 1)(2n)!(n + 1)^2 , n! , n! times n! , n!(2n)! = (2n + 2)(2n + 1)(n + 1)^2 :
Simplificando os fatoriais:
Substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando L = limn to infty (2n + 2)(2n + 1)(n + 1)^2 tende ao infinito:
L = limn to infty 4n^2 + 6n + 2n^2 + 2n + 1
Multiplicando os termos:
L = limn to infty 4 + 6n + 2n^21 + 2n + 1n^2 = 4 + 0 + 01 + 0 + 0 = 4
Dividindo o numerador e o denominador por :

Resposta

Como , pelo Teste da Razão, a série diverge.

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