Aplique o Teste da Razão e estude a convergência da série .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma série infinita e precisamos usar o Teste da Razão para ver se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar esse teste e fazer alguns cálculos com fatorias!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Basicamente, a gente calcula o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série, ou seja:
Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste não dá uma resposta clara.

Passo 3

Vamos calcular essa razão para nossa série. Primeiro, identifiquemos e :
Agora, vamos calcular :
Simplificando os fatoriais:
Substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando tende ao infinito:
Multiplicando os termos:
Dividindo o numerador e o denominador por :

Resposta

Como , pelo Teste da Razão, a série diverge.

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Teste a convergência da série .