Resolva as seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Aqui, a equação relaciona a derivada de
em relação a
com uma constante. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma EDO desse tipo. Quando a derivada de
em relação a
é igual a uma constante, isso significa que
é uma função linear de
. Em outras palavras:
onde
é a inclinação (que, no nosso caso, será a constante dada) e
é a constante de integração que aparece quando integramos.
Passo 3
Vamos identificar a constante na nossa EDO:
Aqui,
é uma constante, pois não depende de
nem de
. Podemos chamar essa constante de
para simplificar:
onde:
Passo 4
Agora, para encontrar
, vamos integrar ambos os lados da equação com relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para
:
Passo 5
Integrando o lado direito:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos substituir o valor de
que identificamos antes:
Essa é a solução geral da EDO dada.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes EDO
(A Companhia Ace de aluguel de caminhões aluga certo modelo de caminhão a
por dia e 15 centavos por milha, enquanto a Companhia Acme de aluguel de caminhões aluga o mesmo modelo a
por dia e 20 centavos por milha.)
Esboce os gráficos das duas funções no mesmo par de eixos coordenados.
Esboce os gráficos das duas funções no mesmo par de eixos coordenados.