Verifique que é um conjunto ortogonal e, depois, encontre a projeção ortogonal de sobre .
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer duas coisas aqui:
Verificar se o conjunto é ortogonal. Isso significa que os vetores e são perpendiculares entre si.
Encontrar a projeção ortogonal de sobre o espaço gerado por e , ou seja, o espaço .
Para isso, vamos usar conceitos de produto interno e projeção de vetores. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores u1 cdot u2 = (1)(-1) + (1)(1) + (0)(0) = -1 + 1 + 0 = 0 e são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno deles for zero.
O produto interno de e é calculado assim:
Como o produto interno deu zero, os vetores e são ortogonais.
Passo 3
Agora que sabemos que ProjLy = y cdot u1u1 cdot u1 u1 + y cdot u2u2 cdot u2 u2 é um conjunto ortogonal, podemos calcular a projeção ortogonal de y cdot u1 = (-1)(1) + (4)(1) + (3)(0) = -1 + 4 + 0 = 3 sobre o espaço gerado por esses vetores.
A fórmula para a projeção ortogonal de u1 cdot u1 = (1)^2 + (1)^2 + (0)^2 = 1 + 1 + 0 = 2 sobre y cdot u2 = (-1)(-1) + (4)(1) + (3)(0) = 1 + 4 + 0 = 5 quando os vetores são ortogonais é:
u2 cdot u2 = (-1)^2 + (1)^2 + (0)^2 = 1 + 1 + 0 = 2