(2,0 pts) Dadas as retas , que passa pelo ponto e tem direção do vetor e r2:ly=6-x z=2-x. (a) Verifique se r1 e r2 são ou não coplanares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se as retas e são coplanares. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço e coplanaridade. Para resolver, vamos precisar trabalhar com vetores e equações paramétricas das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que duas retas sejam coplanares. Duas retas são coplanares se elas estiverem no mesmo plano. Isso pode acontecer de três formas:
As retas são coincidentes (são a mesma reta).
As retas são paralelas.
As retas se cortam em um ponto.
Se nenhuma dessas condições for verdadeira, as retas são escritas (não coplanares).
Passo 3
Vamos analisar as retas r1: x = 2 + t y = 4 - t z = 0 - t e .
Para :
Ponto
Vetor diretor
A equação paramétrica de fica:
onde é o parâmetro.
Passo 4
Para y = 6 - x z = 2 - x , a equação está dada de forma implícita:
y = 6 - t z = 2 - t
Vamos reescrever isso na forma paramétrica. Vamos escolher , então:
Então, um ponto na reta é quando , e o vetor diretor .
Passo 5
Observamos que os vetores diretores das duas retas são iguais:
v1 = v2 = (1, -1, -1)
Isso significa que as retas e são paralelas.
Passo 6
Agora, para retas paralelas serem coplanares, precisamos verificar se o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta é paralelo aos vetores diretores.
Agora, verificamos se (-2, 2, 2) = k cdot (1, -1, -1) é múltiplo de :
Claramente, não existe um número tal que:
Portanto, não é paralelo aos vetores diretores.
Passo 7
Como as retas são paralelas e o vetor que liga e não é paralelo aos vetores diretores, isso confirma que as retas não são coincidentes. Entretanto, como são paralelas, elas estão no mesmo plano.