Use a definição da integral como soma de Riemann para calcular as integrais abaixo. Nos itens (a) e (b) use subintervalos de mesmo tamanho e pontos amostrais à direita. No item © use xi^*=3 i^2n^2 e De.
integral0^3 raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a definição de integral como soma de Riemann. A matéria que estamos trabalhando aqui é o cálculo integral, especificamente usando somas de Riemann para calcular integrais definidas. Para isso, vamos precisar dividir o intervalo em subintervalos, escolher pontos amostrais apropriados e somar os valores das funções nesses pontos multiplicados pelo tamanho dos subintervalos.

Passo 2

Item (a): Vamos usar subintervalos de mesmo tamanho e pontos amostrais à direita.
Primeiro, dividimos o intervalo De em xi^* = a + i cdot De subintervalos de igual tamanho. O tamanho de cada subintervalo ( Sn = sumi=1^n f(xi^*) cdot De) é dado por:
Sn = 3n sumi=1^n raiz3in = 3n cdot raiz3 sumi=1^n raizin = 3raiz3n sumi=1^n raizin
Agora, escolhemos os pontos amostrais à direita de cada subintervalo. O ponto amostral integral0^3 raizx , dx = limn to infty Sn = limn to infty 3raiz3n sumi=1^n raizin no -ésimo subintervalo é:
A soma de Riemann à direita é então:
Simplificando a expressão:
Para encontrar o valor da integral, precisamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Reconhecemos que essa soma aproxima a integral definida, e ao calcular o limite, obtemos o valor exato da integral.

Passo 3

Item (b): Como os itens (a) e (b) utilizam subintervalos de mesmo tamanho e pontos amostrais à direita, o processo é semelhante ao do item (a). Portanto, a resolução segue os mesmos passos, reforçando o entendimento de como as somas de Riemann funcionam com pontos amostrais à direita.

Passo 4

Item ©: Agora, vamos usar De e Sn = sumi=1^n f(xi^*) cdot De.
Primeiro, calculamos Sn = sumi=1^n raiz3in cdot 3(2i -1)n^2 = 3raiz3n^3 sumi=1^n i(2i -1) :
sumi=1^n i(2i -1) = sumi=1^n (2i^2 - i) = 2 sumi=1^n i^2 - sumi=1^n i
Agora, a soma de Riemann fica:
sumi=1^n i = n(n+1)2 e sumi=1^n i^2 = n(n+1)(2n+1)6
Simplificando:
Sn = 3raiz3n^3 ( 2 cdot n(n+1)(2n+1)6 - n(n+1)2 ) = 3raiz3n^3 ( n(n+1)(2n+1)3 - n(n+1)2 )
Expandindo o produto dentro da soma:
Sn = 3raiz3n^3 cdot n(n+1) ( 2n+13 - 12 ) = 3raiz3(n+1)n^2 ( 4n + 2 - 36 ) = 3raiz3(n+1)(4n -1)6n^2
Sabemos que:
Sn = raiz3(n+1)(4n -1)2n^2
Substituindo:
integral0^3 raizx , dx = limn to infty Sn = limn to infty raiz3(n+1)(4n -1)2n^2 = raiz3 cdot 42 = 2raiz3
Factorando :
Simplificando mais:
Tomando o limite quando tende ao infinito:

Resposta

A integral calculada usando somas de Riemann é igual a .

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