Use a definição da integral como soma de Riemann para calcular as integrais abaixo. Nos itens (a) e (b) use subintervalos de mesmo tamanho e pontos amostrais à direita. No item © use
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando a definição de integral como soma de Riemann. A matéria que estamos trabalhando aqui é o cálculo integral, especificamente usando somas de Riemann para calcular integrais definidas. Para isso, vamos precisar dividir o intervalo
em subintervalos, escolher pontos amostrais apropriados e somar os valores das funções nesses pontos multiplicados pelo tamanho dos subintervalos.
Passo 2
Item (a): Vamos usar subintervalos de mesmo tamanho e pontos amostrais à direita.
Primeiro, dividimos o intervalo
em
subintervalos de igual tamanho. O tamanho de cada subintervalo (
) é dado por:
Agora, escolhemos os pontos amostrais à direita de cada subintervalo. O ponto amostral
no
-ésimo subintervalo é:
A soma de Riemann à direita é então:
Simplificando a expressão:
Para encontrar o valor da integral, precisamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Reconhecemos que essa soma aproxima a integral definida, e ao calcular o limite, obtemos o valor exato da integral.
Passo 3
Item (b): Como os itens (a) e (b) utilizam subintervalos de mesmo tamanho e pontos amostrais à direita, o processo é semelhante ao do item (a). Portanto, a resolução segue os mesmos passos, reforçando o entendimento de como as somas de Riemann funcionam com pontos amostrais à direita.
Passo 4
Item ©: Agora, vamos usar
e
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, a soma de Riemann fica:
Simplificando:
Expandindo o produto dentro da soma:
Sabemos que:
Substituindo:
Factorando
:
Simplificando mais:
Tomando o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
A integral
calculada usando somas de Riemann é igual a
.