2 , 5 ptos
(b) Calcule onde integralC 2 x y+x^2 y d x e integralC 2 x y+x^2 y d y onde C é formada pelo arco C1 da parábola y=x^2 de (0,0) a (1,1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1,1) a (1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de integrais de linha, que faz parte do estudo de Cálculo. A gente precisa calcular duas integrais ao longo de uma curva integralC (2xy + x^2 y) , dx e integralC (2xy + x^2 y) , dy , que é composta por duas partes: primeiro, o arco da parábola de até , que vamos chamar de , e depois, um segmento de reta vertical de até , que chamaremos de . As integrais que precisamos calcular são:
Para resolver isso, vamos dividir a curva em e e calcular as integrais em cada parte separadamente. Vamos precisar entender como parametrizar cada segmento e aplicar as integrais de forma apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o arco x = t y = t^2 com t in [0,1] da parábola dx = dt e dy = 2t , dt de a . Vamos usar como parâmetro, então:
Agora, vamos calcular e :

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral ao longo de integralC1 (2xy + x^2 y) , dx = integral0^1 [2t cdot t^2 + t^2 cdot t^2 ] dt = integral0^1 (2t^3 + t^4) , dt :
integral 2t^3 , dt = 2t^44 = t^42 e integral t^4 , dt = t^55
Integrando termo a termo:
[ t^42 + t^55 ]0^1 = ( 12 + 15 ) - (0 + 0) = 710
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral ao longo de integralC1 (2xy + x^2 y) , dy = integral0^1 [2t cdot t^2 + t^2 cdot t^2 ] cdot 2t , dt = integral0^1 (2t^3 + t^4) cdot 2t , dt = integral0^1 (4t^4 + 2t^5) , dt :
integral 4t^4 , dt = 4t^55 e integral 2t^5 , dt = 2t^66 = t^63
Integrando termo a termo:
[ 4t^55 + t^63 ]0^1 = ( 45 + 13 ) - (0 + 0) = 1715
Então:

Passo 5

Agora, vamos parametrizar a reta vertical x = 1 y = t com t in [1,2] de dx = 0 e dy = dt até . Como é uma reta vertical, permanece constante em 1, e varia de 1 a 2. Então:
Calculando e :

Passo 6

Vamos calcular a primeira integral ao longo de integralC2 (2xy + x^2 y) , dx = integral1^2 [2 cdot 1 cdot t + 1^2 cdot t ] cdot 0 , dt = integral1^2 0 , dt = 0 :

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda integral ao longo de integralC2 (2xy + x^2 y) , dy = integral1^2 [2 cdot 1 cdot t + 1^2 cdot t ] , dt = integral1^2 (2t + t) , dt = integral1^2 3t , dt :
integral 3t , dt = 3t^22
Integrando:
[ 3t^22 ]1^2 = 3 cdot 42 - 3 cdot 12 = 6 - 32 = 92
Então:

Resposta

A integral completa ao longo de integralC (2xy + x^2 y) , dx = 710 + 0 = 710 fica:
integralC (2xy + x^2 y) , dy = 1715 + 92 = 1715 + 13530 = 1715 + 276 = 92 + 1715 = 14230 = 7115
integralC (2xy + x^2 y) , dx = 710
Então, as respostas são:
integralC (2xy + x^2 y) , dy = 7115

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