ptos
(b) Calcule onde e onde é formada pelo arco da parábola de a seguido pelo segmento de reta vertical de a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de integrais de linha, que faz parte do estudo de Cálculo. A gente precisa calcular duas integrais ao longo de uma curva , que é composta por duas partes: primeiro, o arco da parábola de até , que vamos chamar de , e depois, um segmento de reta vertical de até , que chamaremos de . As integrais que precisamos calcular são:
Para resolver isso, vamos dividir a curva em e e calcular as integrais em cada parte separadamente. Vamos precisar entender como parametrizar cada segmento e aplicar as integrais de forma apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o arco da parábola de a . Vamos usar como parâmetro, então:
Agora, vamos calcular e :

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral ao longo de :
Integrando termo a termo:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral ao longo de :
Integrando termo a termo:
Então:

Passo 5

Agora, vamos parametrizar a reta vertical de até . Como é uma reta vertical, permanece constante em 1, e varia de 1 a 2. Então:
Calculando e :

Passo 6

Vamos calcular a primeira integral ao longo de :

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda integral ao longo de :
Integrando:
Então:

Resposta

A integral completa ao longo de fica:
Então, as respostas são:

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ptos
(a) Calcule onde é a curva obtida pela metade superior do círculo unitário .
Calcule os limites no infinito
(v)
Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é:
ã

(2) ptos

(a) Um campo vetorial em é definido por . Descreva esboçando alguns dos vetores em cima de alguns pontos do círculo unitário centrado na origem e comente oque acontece com o comprimento dos vetores quando se afasta da origem .