ptos
(b) Calcule onde
e
onde
é formada pelo arco
da parábola
de
a
seguido pelo segmento de reta vertical
de
a
.
(b) Calcule onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de integrais de linha, que faz parte do estudo de Cálculo. A gente precisa calcular duas integrais ao longo de uma curva
, que é composta por duas partes: primeiro, o arco da parábola
de
até
, que vamos chamar de
, e depois, um segmento de reta vertical de
até
, que chamaremos de
. As integrais que precisamos calcular são:
Para resolver isso, vamos dividir a curva
em
e
e calcular as integrais em cada parte separadamente. Vamos precisar entender como parametrizar cada segmento e aplicar as integrais de forma apropriada.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o arco
da parábola
de
a
. Vamos usar
como parâmetro, então:
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 3
Vamos calcular a primeira integral ao longo de
:
Integrando termo a termo:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda integral ao longo de
:
Integrando termo a termo:
Então:
Passo 5
Agora, vamos parametrizar a reta vertical
de
até
. Como é uma reta vertical,
permanece constante em 1, e
varia de 1 a 2. Então:
Calculando
e
:
Passo 6
Vamos calcular a primeira integral ao longo de
:
Passo 7
Agora, vamos calcular a segunda integral ao longo de
:
Integrando:
Então:
Resposta
A integral completa ao longo de
fica:
Então, as respostas são:
Exercícios relacionados
(a) Calcule
Calcule os limites no infinito
(v)
(v)
Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é:
(2)
ptos
(a) Um campo vetorial em
é definido por
. Descreva
esboçando alguns dos vetores
em cima de alguns pontos do círculo unitário centrado na origem e comente oque acontece com o comprimento dos vetores
quando
se afasta da origem
.