ptos
(a) Calcule onde é a curva obtida pela metade superior do círculo unitário .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral de linha de uma função sobre a metade superior do círculo unitário . O conteúdo que vamos usar aqui é o de integrais de linha na matéria de cálculo. Para resolver isso, precisamos parametrizar a curva , entender como calcular (o elemento de comprimento) e depois integrar a função ao longo dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é a metade superior do círculo unitário, podemos usar a parametrização trigonométrica:
onde varia de a para cobrir a metade superior.

Passo 3

Agora, vamos encontrar , que representa um pequeno trecho de comprimento ao longo da curva. A fórmula para em termos do parâmetro é:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização e na integral original:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos agora integrar termo a termo:
Para resolver essas integrais, fazemos substituições:
Para a primeira integral, use , então :
Avaliado de a :
Para a segunda integral, novamente use , :
Avaliado de a :

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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(v)
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ptos
(b) Calcule onde e onde é formada pelo arco da parábola de a seguido pelo segmento de reta vertical de a .
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ã