2 , 5 ptos
(a) Calcule integralC 2 x y+x^2 y d s onde C é a curva obtida pela metade superior do círculo unitário x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral de linha de uma função sobre a metade superior do círculo unitário . O conteúdo que vamos usar aqui é o de integrais de linha na matéria de cálculo. Para resolver isso, precisamos parametrizar a curva , entender como calcular (o elemento de comprimento) e depois integrar a função ao longo dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = cos theta y = sin theta . Como é a metade superior do círculo unitário, podemos usar a parametrização trigonométrica:
onde varia de a para cobrir a metade superior.

Passo 3

Agora, vamos encontrar ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta , que representa um pequeno trecho de comprimento ao longo da curva. A fórmula para dxdtheta = -sin theta dydtheta = cos theta em termos do parâmetro ds = raiz(-sin theta)^2 + (cos theta)^2 , dtheta = raizsin^2 theta + cos^2 theta , dtheta = raiz1 , dtheta = dtheta é:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização e integralC (2xy + x^2y) , ds = integral0^pi [2(cos theta)(sin theta) + (cos^2 theta)(sin theta)] dtheta na integral original:
2cos theta sin theta + cos^2 theta sin theta = sin theta (2cos theta + cos^2 theta)
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos agora integrar termo a termo:
integral0^pi sin theta (2cos theta + cos^2 theta) , dtheta = 2integral0^pi sin theta cos theta , dtheta + integral0^pi sin theta cos^2 theta , dtheta
Para resolver essas integrais, fazemos substituições:
Para a primeira integral, use 2integral sin theta cos theta , dtheta = -2integral u , du = -2 (u^22) = -u^2 = -cos^2 theta , então - cos^2 pi + cos^2 0 = -1 + 1 = 0 :
integral sin theta cos^2 theta , dtheta = -integral u^2 , du = -(u^33) = -cos^3 theta3
Avaliado de - cos^3 pi3 + cos^3 03 = -((-1)^33) + (1^33) = 13 + 13 = 23 a :
Para a segunda integral, novamente use , :
Avaliado de a :

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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