ptos
(a) Calcule
onde
é a curva obtida pela metade superior do círculo unitário
.
(a) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral de linha de uma função sobre a metade superior do círculo unitário
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de integrais de linha na matéria de cálculo. Para resolver isso, precisamos parametrizar a curva
, entender como calcular
(o elemento de comprimento) e depois integrar a função ao longo dessa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
é a metade superior do círculo unitário, podemos usar a parametrização trigonométrica:
onde
varia de
a
para cobrir a metade superior.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
, que representa um pequeno trecho de comprimento ao longo da curva. A fórmula para
em termos do parâmetro
é:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos a parametrização e
na integral original:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos agora integrar termo a termo:
Para resolver essas integrais, fazemos substituições:
Para a primeira integral, use
, então
:
Avaliado de
a
:
Para a segunda integral, novamente use
,
:
Avaliado de
a
:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.
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Calcule os limites no infinito
(v)
(v)
Seja
. Descubra
para que
.
(b) Calcule onde
Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é: