ptos
Determine a integral de linha onde é o círculo com centro na origem e raio 2, por dois métodos diretamente pela definição e utilizando o teorema de green.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é um círculo com centro na origem e raio 2. Vamos usar dois métodos para isso:
  1. Diretamente pela definição: Ou seja, parametrizando a curva e calculando a integral passo a passo.
  2. Usando o Teorema de Green: Que transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a área delimitada por .
Para isso, vamos precisar lembrar como parametrizar um círculo e entender o que o Teorema de Green faz.

Passo 2

Método (a): Diretamente pela definição
Primeiro, vamos parametrizar o círculo . Como o círculo tem centro na origem e raio 2, podemos usar coordenadas polares:
onde varia de a .
Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Substituindo na integral original:
Vamos simplificar cada parte:
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar termo a termo:
  • Para :
    Fazemos a substituição , .
    A integral se transforma em:
    Avaliando de a , como , essa parte dá:
  • Para :
    Novamente, usamos , .
    A integral se transforma em:
    Avaliando de a :
Somando as duas partes, a integral total é:

Passo 3

Método (b): Usando o Teorema de Green
O Teorema de Green relaciona a integral de linha com uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva . A formulação é:
No nosso caso, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Agora, precisamos calcular:
Onde é a região interna ao círculo de raio 2. Observe que, devido à simetria do círculo em relação ao eixo , a integral de sobre essa região será zero. Isso porque para cada ponto acima do eixo , existe um ponto abaixo que cancela o valor de .
Portanto:

Resposta

A integral de linha vale 0 pelos dois métodos utilizados.

Exercícios relacionados

Simplifique e .
Calcule os limites laterais
(f)
ptos
(d) Utilize o Teorema de Green para determinar a área delimitada pela Elipse
Usando a Definição de continuidade: uma função é contínua em , se, e somente se duas condições se verificam:
(ii) O Limite da função coincide com o valor da função em ; verifique as seguintes regras: suponha que e são contínuas em , então: