ptos
Determine a integral de linha
onde
é o círculo com centro na origem e raio 2, por dois métodos
diretamente pela definição e
utilizando o teorema de green.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é um círculo com centro na origem e raio 2. Vamos usar dois métodos para isso:
- Diretamente pela definição: Ou seja, parametrizando a curva e calculando a integral passo a passo.
- Usando o Teorema de Green: Que transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a área delimitada por
.
Para isso, vamos precisar lembrar como parametrizar um círculo e entender o que o Teorema de Green faz.
Passo 2
Método (a): Diretamente pela definição
Primeiro, vamos parametrizar o círculo
. Como o círculo tem centro na origem e raio 2, podemos usar coordenadas polares:
onde
varia de
a
.
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Substituindo na integral original:
Vamos simplificar cada parte:
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar termo a termo:
-
Para
: Fazemos a substituição, . A integral se transforma em:Avaliando dea , como , essa parte dá: -
Para
: Novamente, usamos, . A integral se transforma em:Avaliando dea :
Somando as duas partes, a integral total é:
Passo 3
Método (b): Usando o Teorema de Green
O Teorema de Green relaciona a integral de linha com uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva
. A formulação é:
No nosso caso, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Agora, precisamos calcular:
Onde
é a região interna ao círculo de raio 2. Observe que, devido à simetria do círculo em relação ao eixo
, a integral de
sobre essa região será zero. Isso porque para cada ponto
acima do eixo
, existe um ponto
abaixo que cancela o valor de
.
Portanto:
Resposta
A integral de linha
vale 0 pelos dois métodos utilizados.
Exercícios relacionados
Simplifique
e
.
Calcule os limites laterais
(f)
(f)
(d) Utilize o Teorema de Green para determinar a área delimitada pela Elipse
Usando a Definição de continuidade: uma função
é contínua em
, se, e somente se duas condições se verificam:
(ii) O Limite da função coincide com o valor da função em ; verifique as seguintes regras: suponha que
e
são contínuas em
, então:
(ii) O Limite da função coincide com o valor da função em