1 , 5 ptos
(c) Determine a integral de linha integralC x^5 d x+x y d y onde C é o círculo com centro na origem e raio 2, por dois métodos (a) diretamente pela definição e (b) utilizando o teorema de green.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é um círculo com centro na origem e raio 2. Vamos usar dois métodos para isso:
  1. Diretamente pela definição: Ou seja, parametrizando a curva e calculando a integral passo a passo.
  2. Usando o Teorema de Green: Que transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a área delimitada por .
Para isso, vamos precisar lembrar como parametrizar um círculo e entender o que o Teorema de Green faz.

Passo 2

Método (a): Diretamente pela definição
Primeiro, vamos parametrizar o círculo x = 2 cos theta y = 2 sin theta . Como o círculo tem centro na origem e raio 2, podemos usar coordenadas polares:
dx = dxdtheta , dtheta = -2 sin theta , dtheta
onde dy = dydtheta , dtheta = 2 cos theta , dtheta varia de integralC x^5 , dx + x y , dy = integral0^2pi ( (2 cos theta)^5 (-2 sin theta) + (2 cos theta)(2 sin theta)(2 cos theta) ) dtheta a integral0^2pi ( -64 cos^5 theta sin theta + 8 cos^2 theta sin theta ) dtheta .
Agora, vamos calcular as derivadas de -64 integral cos^5 theta sin theta , dtheta = 64 integral u^5 , du = 646 u^6 = 646 cos^6 theta e 646 (1 - 1) = 0 em relação a 8 integral cos^2 theta sin theta , dtheta = -8 integral u^2 , du = -83 u^3 = -83 cos^3 theta :
-83 (1 - 1) = 0
0 + 0 = 0
Substituindo na integral original:
Vamos simplificar cada parte:
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar termo a termo:
  • Para :
    Fazemos a substituição , .
    A integral se transforma em:
    Avaliando de a , como , essa parte dá:
  • Para :
    Novamente, usamos , .
    A integral se transforma em:
    Avaliando de a :
Somando as duas partes, a integral total é:

Passo 3

Método (b): Usando o Teorema de Green
O Teorema de Green relaciona a integral de linha com uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA . A formulação é:
P = x^5 e Q = x y
No nosso caso, temos:
partial Qpartial x = partial (x y)partial x = y
Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial y = partial (x^5)partial y = 0
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y - 0 = y
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
integral duplaD y , dA
Agora, precisamos calcular:
integral duplaD y , dA = 0
Onde é a região interna ao círculo de raio 2. Observe que, devido à simetria do círculo em relação ao eixo , a integral de sobre essa região será zero. Isso porque para cada ponto acima do eixo , existe um ponto abaixo que cancela o valor de .
Portanto:

Resposta

A integral de linha vale 0 pelos dois métodos utilizados.

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