Simplifique
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver duas expressões envolvendo potências e logaritmos. A primeira é
e a segunda é
. Para isso, vamos precisar entender propriedades de logaritmos e potências que vão nos ajudar a simplificar essas expressões.
Passo 2
Vamos começar com a primeira expressão:
. Primeiro, vamos lembrar que a base do logaritmo
é
, o que significa que
.
Passo 3
Agora, observamos que temos uma cadeia de logaritmos:
. Sabemos que
pela mudança de base. Substituindo isso na expressão, temos:
Os
se cancelam, sobrando
.
Passo 4
Aplicando a mesma lógica,
. Substituindo, ficamos com:
Mais uma vez, os
se cancelam, resultando em
.
Passo 5
Agora, voltando à expressão original, temos:
E sabemos que
, porque a base e o logaritmo se cancelam.
Passo 6
Vamos agora para a segunda expressão:
. Primeiro, vamos lembrar que
pela mudança de base dos logaritmos.
Passo 7
Então, a expressão fica:
E novamente, usando a propriedade que
, temos que isso é igual a
.
Resposta
A simplificação das expressões é:
Exercícios relacionados
Calcule os limites laterais
(f)
(f)
Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é dado abaixo (
e
são reais positivos):
.
(d) Utilize o Teorema de Green para determinar a área delimitada pela Elipse