(2,5 ptos) Considere a função , dada por
(b) Esboce o gráfico da função .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função , definida por:
Aqui, estamos trabalhando com funções peça por peça e análise de comportamentos gráficos. Para resolver, vamos precisar simplificar a função para , entender o que acontece perto de e identificar como isso afeta o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para :
Vamos fatorar o numerador:
Então, a função fica:
Passo 3
Observamos que é o valor absoluto de , que é sempre positivo, exceto quando . Podemos reescrever a função considerando os casos onde é positivo ou negativo.
Quando :
Então:
Quando :
Então:
Passo 4
Agora, temos a função simplificada por partes:
Isso nos ajuda a entender o comportamento da função em diferentes intervalos de .
Passo 5
Vamos analisar o que acontece perto de :
Para se aproximando de 2 pela direita ():
Para se aproximando de 2 pela esquerda ():
No ponto , .
Isso indica que há uma descontinuidade do tipo salto em , pois os limites laterais não são iguais e o valor da função no ponto é diferente dos limites.
Passo 6
Agora, vamos esboçar o gráfico:
Para , a função é uma reta com inclinação 1: .
Para , a função é uma reta com inclinação -1: .
No ponto , temos um ponto isolado .
Além disso, há uma ruptura no gráfico em , com as retas se aproximando dos valores 5 e -5 pelos lados direito e esquerdo, respectivamente.
Resposta
O gráfico da função consiste em duas retas inclinadas nos intervalos e , com uma descontinuidade por salto em , onde existe um ponto isolado em .