QUESTÃO: calcule a derivada pelo método das funções inversas (ou seja, ache a inversa de cada função e calcule a derivada da função a partir da derivada de sua inversa) y = e^(x^2), x ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função usando o método das funções inversas. Isso significa que a gente vai primeiro achar a função inversa dessa função exponencial e, a partir daí, encontrar a derivada da função original. Para isso, vamos precisar entender como encontrar inversas de funções e como relacionar suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função inversa de . Para achar a inversa, trocamos e e resolvemos para :
Agora, vamos isolar :
Então, a inversa da função é .

Passo 3

Agora que temos a função inversa , vamos calcular sua derivada em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 4

Sabemos que a derivada da função original está relacionada à derivada da sua inversa. A relação entre elas é dada por:
Substituindo a derivada da inversa que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos substituir na expressão:
Sabemos que , então:
Como , . Portanto:

Resposta

A derivada de é .

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