QUESTÃO: calcule a derivada pelo método das funções inversas (ou seja, ache a inversa de cada função e calcule a derivada da função a partir da derivada de sua inversa)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função
usando o método das funções inversas. Isso significa que a gente vai primeiro achar a função inversa dessa função exponencial e, a partir daí, encontrar a derivada da função original. Para isso, vamos precisar entender como encontrar inversas de funções e como relacionar suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função inversa de
. Para achar a inversa, trocamos
e
e resolvemos para
:
Agora, vamos isolar
:
Então, a inversa da função é
.
Passo 3
Agora que temos a função inversa
, vamos calcular sua derivada em relação a
. Para isso, usamos a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Sabemos que a derivada da função original
está relacionada à derivada da sua inversa. A relação entre elas é dada por:
Substituindo a derivada da inversa que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na expressão:
Sabemos que
, então:
Como
,
. Portanto:
Resposta
A derivada de
é
.