(2,0 pts) Calcule a integral
onde é uma curva arbitrária ligando os ponto e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de linha, que é uma maneira de somar valores ao longo de uma curva no espaço. O enunciado nos dá uma expressão complicada para integrar e uma curva qualquer que conecta os pontos A(1,1,0) e B(1,2, π/2). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e potenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial que está dentro da integral é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele puder ser expresso como o gradiente de uma função potencial. Se for o caso, a integral de linha não vai depender da curva escolhida, apenas dos pontos de início e fim. Isso simplifica muito nosso trabalho!

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, vamos comparar as derivadas parciais dos componentes do campo. Nosso campo vetorial é:
Vamos checar se as segundas derivadas cruzadas são iguais:
  1. e – iguais.
  2. e – iguais.
  3. e – iguais.
Como todas as condições estão satisfeitas, o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial tal que .
Vamos integrar cada componente:
  1. Integrando em relação a :
  1. Derivando em relação a e igualando a :
Integrando em relação a :
  1. Atualizando e derivando em relação a para igualar a :
Isso implica que , então é constante. Podemos ignorar essa constante para o nosso propósito.
Então, a função potencial é:

Passo 5

Finalmente, calculamos a diferença da função potencial nos pontos B e A:
Para o ponto A(1,1,0):
Para o ponto B(1,2, ):

Resposta

A integral vale:
Então, a resposta final é:

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