(2,0 pts) Calcule a integral
onde
é uma curva arbitrária ligando os ponto
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de linha, que é uma maneira de somar valores ao longo de uma curva no espaço. O enunciado nos dá uma expressão complicada para integrar e uma curva qualquer que conecta os pontos A(1,1,0) e B(1,2, π/2). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e potenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial que está dentro da integral é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele puder ser expresso como o gradiente de uma função potencial. Se for o caso, a integral de linha não vai depender da curva escolhida, apenas dos pontos de início e fim. Isso simplifica muito nosso trabalho!
Passo 3
Para verificar se o campo é conservativo, vamos comparar as derivadas parciais dos componentes do campo. Nosso campo vetorial é:
Vamos checar se as segundas derivadas cruzadas são iguais:
-
e – iguais. -
e – iguais. -
e – iguais.
Como todas as condições estão satisfeitas, o campo é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial
tal que
.
Vamos integrar cada componente:
- Integrando
em relação a :
- Derivando
em relação a e igualando a :
Integrando
em relação a
:
- Atualizando
e derivando em relação a para igualar a :
Isso implica que
, então
é constante. Podemos ignorar essa constante para o nosso propósito.
Então, a função potencial é:
Passo 5
Finalmente, calculamos a diferença da função potencial nos pontos B e A:
Para o ponto A(1,1,0):
Para o ponto B(1,2,
):
Resposta
A integral vale:
Então, a resposta final é:
Exercícios relacionados
(
Identifique a superfície parametrizada por
- Esboce a superfície.
(2,0 pts) Use o Teorema de Green para calcular a integral
em que
é a circunferência de raio 1 centrada em
orientada no sentido horário e
(1,5 pts) Determine a área da porção da superfície
interior ao cilindro
.
(2,0 pts) Parametrize nas variáveis
a porção da superfície
entre os planos
e
. Apresente a integral dupla (não precisa calcular) que representa a área de tal superficie.