(2,0 pts) Calcule a integral
integralC(2 x sin z) d x+(z^3-e^y) d y+(x^2 cos z+3 y z^2) d z
onde C é uma curva arbitrária ligando os ponto A(1,1,0) e B(1,2, pi / 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de linha, que é uma maneira de somar valores ao longo de uma curva no espaço. O enunciado nos dá uma expressão complicada para integrar e uma curva qualquer que conecta os pontos A(1,1,0) e B(1,2, π/2). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e potenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial que está dentro da integral é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele puder ser expresso como o gradiente de uma função potencial. Se for o caso, a integral de linha não vai depender da curva escolhida, apenas dos pontos de início e fim. Isso simplifica muito nosso trabalho!

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, vamos comparar as derivadas parciais dos componentes do campo. Nosso campo vetorial é:
F = (2x sin z, , z^3 - e^y, , x^2 cos z + 3 y z^2)
Vamos checar se as segundas derivadas cruzadas são iguais:
  1. e – iguais.
  2. e – iguais.
  3. e – iguais.
Como todas as condições estão satisfeitas, o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial phi = integral 2x sin z , dx = x^2 sin z + g(y, z) tal que partial phipartial y = partialpartial y (x^2 sin z + g(y, z)) = partial gpartial y = z^3 - e^y .
Vamos integrar cada componente:
  1. Integrando g(y, z) = z^3 y - e^y + h(z) em relação a phi = x^2 sin z + z^3 y - e^y + h(z) :
partial phipartial z = x^2 cos z + 3z^2 y + h'(z) = x^2 cos z + 3z^2 y
  1. Derivando phi = x^2 sin z + z^3 y - e^y em relação a e igualando a :
Integrando em relação a :
  1. Atualizando e derivando em relação a para igualar a :
Isso implica que , então é constante. Podemos ignorar essa constante para o nosso propósito.
Então, a função potencial é:

Passo 5

Finalmente, calculamos a diferença da função potencial nos pontos B e A:
Para o ponto A(1,1,0):
phi(A) = (1)^2 sin 0 + (0)^3 cdot 1 - e^1 = 0 + 0 - e = -e
Para o ponto B(1,2, phi(B) = (1)^2 sin (pi2) + (pi2)^3 cdot 2 - e^2 = 1 cdot 1 + pi^34 cdot 2 - e^2 = 1 + pi^32 - e^2 ):

Resposta

A integral vale:
phi(B) - phi(A) = (1 + pi^32 - e^2) - (-e) = 1 + pi^32 - e^2 + e
Então, a resposta final é:
1 + pi^32 - e^2 + e

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