( Identifique a superfície parametrizada por
  • Esboce a superfície.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma superfície parametrizada pela equação:
O objetivo é identificar que tipo de superfície é essa e fazer um esboço dela. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de superfícies. Precisaremos entender como relacionar os parâmetros e com as coordenadas espaciais , e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a parametrização em termos das coordenadas , e . A parametrização nos dá:
Agora, nosso objetivo é eliminar os parâmetros e para obter uma equação apenas em , e .

Passo 3

Observando as equações para e , vemos que:
Vamos substituir esses valores na equação de :

Passo 4

Agora temos a equação:
Vamos rearranjá-la para entender melhor a superfície:
Isso se parece com a equa��ão de um cilindro circular, mas com uma variação na coordenada .

Passo 5

A equação representa um paraboloide circular. Especificamente, é um paraboloide que se abre na direção do eixo . Cada seção perpendicular ao eixo é um círculo de raio .

Passo 6

Para esboçar a superfície, imagine que para cada valor de , temos um círculo no plano - com raio . Quando , o raio é zero, e à medida que aumenta, os círculos ficam maiores.

Resposta

A superfície parametrizada é um paraboloide circular que se abre na direção positiva do eixo . O esboço mostra um paraboloide com sua “boca” no ponto e se expandindo à medida que aumenta.

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