(
Identifique a superfície parametrizada por
- Esboce a superfície.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma superfície parametrizada pela equação:
O objetivo é identificar que tipo de superfície é essa e fazer um esboço dela. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de superfícies. Precisaremos entender como relacionar os parâmetros
e
com as coordenadas espaciais
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a parametrização em termos das coordenadas
,
e
. A parametrização nos dá:
Agora, nosso objetivo é eliminar os parâmetros
e
para obter uma equação apenas em
,
e
.
Passo 3
Observando as equações para
e
, vemos que:
Vamos substituir esses valores na equação de
:
Passo 4
Agora temos a equação:
Vamos rearranjá-la para entender melhor a superfície:
Isso se parece com a equa��ão de um cilindro circular, mas com uma variação na coordenada
.
Passo 5
A equação
representa um paraboloide circular. Especificamente, é um paraboloide que se abre na direção do eixo
. Cada seção perpendicular ao eixo
é um círculo de raio
.
Passo 6
Para esboçar a superfície, imagine que para cada valor de
, temos um círculo no plano
-
com raio
. Quando
, o raio é zero, e à medida que
aumenta, os círculos ficam maiores.
Resposta
A superfície parametrizada é um paraboloide circular que se abre na direção positiva do eixo
. O esboço mostra um paraboloide com sua “boca” no ponto
e se expandindo à medida que
aumenta.
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.
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.
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.