(2,0 pts)Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações a seguir, justificando sua resposta:.
© ( ) Se
é um espaço vetorial de dimensão
, então todo subconjunto de
contendo
elementos é uma base de
.
© ( ) Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se
é um espaço vetorial de dimensão
, então todo subconjunto de
contendo
elementos é uma base de
.” Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais, um conceito fundamental na álgebra linear. Para resolver, precisamos entender o que é uma base e a relação entre a dimensão do espaço e o número de vetores em uma base.
Passo 2
Primeiro, lembro que a dimensão de um espaço vetorial
é o número de vetores em qualquer base de
. Ou seja, se
, então toda base de
tem exatamente
vetores.
Passo 3
Uma base de
precisa satisfazer duas condições:
- Linearmente independentes: Nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
- Geradores do espaço: Qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 4
Agora, consideremos um subconjunto com
elementos em
. Como a dimensão de
é
, pelo teorema da base, qualquer conjunto com mais de
vetores será linearmente dependente. Isso significa que pelo menos um vetor do subconjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 5
Se o subconjunto tem vetores linearmente dependentes, ele não pode ser uma base, porque uma base requer que os vetores sejam linearmente independentes.
Resposta
Falso. Nem todo subconjunto com
elementos em
é uma base, pois tais subconjuntos são linearmente dependentes.