( 2,0 pts ) Considere uma barra cilíndrica de comprimento L e seção transversal de raio R. Sâbe-se que esta barra é composta de duas partes: uma de comprimento L1 e resistividade rho1 e a outra de comprimento L2 e resistividade rho2, tais que L=L1+L2. Considerando a resistência elétrica entre suas extremidades, mostre que a resistividade equivalente para toda a barra é dada por rho=(rho1 L1+rho2 L2) / L.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma barra cilíndrica com comprimento total $ L $ e raio $ R $, que está dividida em duas partes. A primeira parte tem comprimento $ L_1 $ e resistividade $ \rho_1 $, e a segunda tem comprimento $ L_2 $ e resistividade $ \rho_2 $. Sabemos que $ L = L_1 + L_2 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a resistividade equivalente $ \rho $ de toda a barra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de resistividade elétrica e como resistências se combinam quando estão em série.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a resistência elétrica $ R $ de um material é dada pela fórmula:
R
Onde:
  • $ \rho $ é a resistividade do material,
  • $ L $ é o comprimento,
  • $ A $ é a área da seção transversal.
Como a barra é cilíndrica, a área da seção transversal $ A $ é:
R = rho LA

Passo 3

Agora, vamos calcular a resistência de cada parte da barra separadamente. Para a primeira parte:
R1 = rho1 L1A = rho1 L1pi R^2
E para a segunda parte:
R2 = rho2 L2A = rho2 L2pi R^2

Passo 4

Como as duas partes estão ligadas em série (uma após a outra), a resistência total $ R_{total} $ da barra é a soma das resistências das partes:
Rtotal

Passo 5

Podemos fatorar $ \frac{1}{\pi R^2} $ da expressão:
1pi R^2

Passo 6

Agora, queremos expressar a resistência total $ R_{total} $ também em termos da resistividade equivalente $ \rho $:
Rtotal

Passo 7

Igualando as duas expressões para $ R_{total} $:
Rtotal
Podemos cancelar $ \frac{1}{\pi R^2} $ dos dois lados:
1pi R^2 (rho1 L1 + rho2 L2) = rho Lpi R^2

Passo 8

Finalmente, isolamos $ \rho $ para encontrar a resistividade equivalente:
rho

Resposta

A resistividade equivalente da barra é dada por:
rho = rho1 L1 + rho2 L2L

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