(
) Considere uma barra cilíndrica de comprimento
e seção transversal de raio
. Sâbe-se que esta barra é composta de duas partes: uma de comprimento
resistividade
e a outra de comprimento
e resistividade
, tais que
. Considerando a resistência elétrica entre suas extremidades, mostre que a resistividade equivalente para toda a barra é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma barra cilíndrica com comprimento total $ L $ e raio $ R $, que está dividida em duas partes. A primeira parte tem comprimento $ L_1 $ e resistividade $ \rho_1 $, e a segunda tem comprimento $ L_2 $ e resistividade $ \rho_2 $. Sabemos que $ L = L_1 + L_2 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a resistividade equivalente $ \rho $ de toda a barra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de resistividade elétrica e como resistências se combinam quando estão em série.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a resistência elétrica $ R $ de um material é dada pela fórmula:
Onde:
- $ \rho $ é a resistividade do material,
- $ L $ é o comprimento,
- $ A $ é a área da seção transversal.
Como a barra é cilíndrica, a área da seção transversal $ A $ é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a resistência de cada parte da barra separadamente. Para a primeira parte:
E para a segunda parte:
Passo 4
Como as duas partes estão ligadas em série (uma após a outra), a resistência total $ R_{total} $ da barra é a soma das resistências das partes:
Passo 5
Podemos fatorar $ \frac{1}{\pi R^2} $ da expressão:
Passo 6
Agora, queremos expressar a resistência total $ R_{total} $ também em termos da resistividade equivalente $ \rho $:
Passo 7
Igualando as duas expressões para $ R_{total} $:
Podemos cancelar $ \frac{1}{\pi R^2} $ dos dois lados:
Passo 8
Finalmente, isolamos $ \rho $ para encontrar a resistividade equivalente:
Resposta
A resistividade equivalente da barra é dada por: