Se u=3 i-j-2 k, v=2 i+4 j-k e w=-i+k, determinar (u times v) cdot v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial. A gente tem três vetores: u, v e w. A questão pede pra gente encontrar o resultado de . Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto vetorial e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 . Esse produto entre dois vetores resulta em outro vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais. A fórmula para calcular o produto vetorial de dois vetores e é:

Passo 3

Vamos calcular u times v = i & j & k 3 & -1 & -2 2 & 4 & -1 . Primeiro, escrevemos a matriz:
u times v = i((-1)(-1) - (-2)(4)) - j((3)(-1) - (-2)(2)) + k((3)(4) - (-1)(2))
Calculando o determinante:
u times v = i(1 + 8) - j(-3 + 4) + k(12 + 2) = 9i - 1j + 14k
Simplificando:
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos fazer o produto escalar entre a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 e , ou seja, . O produto escalar entre dois vetores e é dado por:

Passo 5

Vamos aplicar isso no nosso caso:
(u times v) cdot v = (9i - j + 14k) cdot (2i + 4j - k)
Calculando cada componente:
9 times 2 + (-1) times 4 + 14 times (-1) = 18 - 4 - 14 = 0

Resposta

O valor de é 0.

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