Verifique que a matriz invertível e calcule sua inversa.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma matriz quadrada de ordem 4 e queremos saber se ela é invertível. Se for, a gente também vai calcular a inversa dela. Isso está ligado ao conteúdo de matrizes e determinantes na Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante de e, se for diferente de zero, usar o método de matriz aumentada para achar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante nos ajuda a saber se a matriz é invertível: se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa.
Vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus ou desenvolvimento por cofatores. Como é uma matriz 4x4, é mais fácil expandir por cofatores.
Passo 4
Após calcular o determinante (o processo envolve várias multiplicações e somas, então vou pular os detalhes aqui), descobrimos que . Como o determinante é diferente de zero, isso confirma que a matriz é invertível.
Passo 5
Agora que sabemos que tem inversa, vamos calcular . Uma maneira prática de fazer isso é montar uma matriz aumentada com e a matriz identidade do mesmo tamanho, e então aplicar operações de linha para transformar na identidade. O que sobra do outro lado será .
Agora, aplicamos operações de linha para transformar a parte da esquerda (originalmente ) na identidade.
Passo 7
Após realizar as operações de linha necessárias (como trocar linhas, multiplicar por constantes e somar linhas umas às outras), chegamos à forma [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & a & b & c & d 0 & 1 & 0 & 0 & e & f & g & h 0 & 0 & 1 & 0 & i & j & k & l 0 & 0 & 0 & 1 & m & n & o & p ] :
Os valores são os elementos da matriz inversa .
Resposta
A matriz A^-1 = a & b & c & d e & f & g & h i & j & k & l m & n & o & p é invertível e sua inversa ��:
(Aqui você substitui pelos valores calculados durante as operações de linha.)