Verifique se o sistema linear homogêneo possui apenas a solução trivial
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear homogêneo com quatro equações e cinco variáveis:
2x + 5y - z + t - 3s = 0 x - 3y + 2z + 2t + s = 0 2x + 3y + z + 6t - 8s = 0 4x + 10y - 2z + 2t - 6s = 0
O objetivo é verificar se esse sistema possui apenas a solução trivial, ou seja, se a única solução é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como escalonamento de matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz ampliada do sistema. Como todas as equações são igualadas a zero, a parte ampliada será uma coluna de zeros. Mas para facilitar, vamos focar na matriz dos coeficientes:
Agora, vamos realizar operações elementares para reduzir essa matriz a uma forma mais simples, chamada de forma escalonada. Isso nos ajudará a identificar se existe alguma dependência linear entre as equações.
Começamos pela primeira coluna. Queremos ter um 1 na posição (1,1). Para isso, podemos trocar a primeira linha com a segunda:
Percebemos que a quarta linha ficou toda zerada, o que indica que há dependência entre as equações. Agora, vamos analisar as outras linhas:
Linha 3: 511t - 5s = 0 implies t = 11s
Podemos simplificar isso para:
Já temos em função de .
Passo 8
Substituímos y - 511z - 3s - 511s = 0 implies y = 511z + 3811s nas outras equações para encontrar as relações entre as variáveis:
Linha 2: x + 111z + s - 211s = 0 implies x = -111z - 911s
Simplificando:
Linha 1:
Simplificando:
Passo 9
Até aqui, conseguimos expressar e em função de e , e em função de . Como temos duas variáveis livres ( e ), isso significa que existem infinitas soluções não triviais para o sistema.
Resposta
O sistema linear homogêneo possui infinitas soluções não triviais, ou seja, além da solução trivial , existem outras soluções onde pelo menos uma variável não é zero.