Verifique se o sistema linear homogêneo possui apenas a solução trivial
2 x+5 y-z+t-3 s & =0 x-3 y+2 z+2 t+s & =0 2 x+3 y+z+6 t-8 s & =0 4 x+10 y-2 z+2 t-6 s & =0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear homogêneo com quatro equações e cinco variáveis:
2x + 5y - z + t - 3s = 0 x - 3y + 2z + 2t + s = 0 2x + 3y + z + 6t - 8s = 0 4x + 10y - 2z + 2t - 6s = 0
O objetivo é verificar se esse sistema possui apenas a solução trivial, ou seja, se a única solução é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como escalonamento de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz ampliada do sistema. Como todas as equações são igualadas a zero, a parte ampliada será uma coluna de zeros. Mas para facilitar, vamos focar na matriz dos coeficientes:
A = 2 & 5 & -1 & 1 & -3 1 & -3 & 2 & 2 & 1 2 & 3 & 1 & 6 & -8 4 & 10 & -2 & 2 & -6

Passo 3

Agora, vamos realizar operações elementares para reduzir essa matriz a uma forma mais simples, chamada de forma escalonada. Isso nos ajudará a identificar se existe alguma dependência linear entre as equações.
Começamos pela primeira coluna. Queremos ter um 1 na posição (1,1). Para isso, podemos trocar a primeira linha com a segunda:
1 & -3 & 2 & 2 & 1 2 & 5 & -1 & 1 & -3 2 & 3 & 1 & 6 & -8 4 & 10 & -2 & 2 & -6

Passo 4

Agora, vamos eliminar os termos abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Linha 2: Subtrair 2 vezes a linha 1 da linha 2.
  • Linha 3: Subtrair 2 vezes a linha 1 da linha 3.
  • Linha 4: Subtrair 4 vezes a linha 1 da linha 4.
Após essas operações, a matriz fica assim:
1 & -3 & 2 & 2 & 1 0 & 11 & -5 & -3 & -5 0 & 9 & -3 & 2 & -10 0 & 22 & -10 & -6 & -10

Passo 5

Seguimos para a segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2). Para isso, dividimos a segunda linha por 11:
1 & -3 & 2 & 2 & 1 0 & 1 & -511 & -311 & -511 0 & 9 & -3 & 2 & -10 0 & 22 & -10 & -6 & -10

Passo 6

Agora, eliminamos os termos abaixo e acima do 1 na segunda coluna:
  • Linha 1: Adicionar 3 vezes a linha 2 à linha 1.
  • Linha 3: Subtrair 9 vezes a linha 2 da linha 3.
  • Linha 4: Subtrair 22 vezes a linha 2 da linha 4.
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 0 & 111 & 111 & -211 0 & 1 & -511 & -311 & -511 0 & 0 & 0 & 511 & -5511 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 7

Percebemos que a quarta linha ficou toda zerada, o que indica que há dependência entre as equações. Agora, vamos analisar as outras linhas:
  • Linha 3: 511t - 5s = 0 implies t = 11s
Podemos simplificar isso para:
Já temos em função de .

Passo 8

Substituímos y - 511z - 3s - 511s = 0 implies y = 511z + 3811s nas outras equações para encontrar as relações entre as variáveis:
  • Linha 2: x + 111z + s - 211s = 0 implies x = -111z - 911s
    Simplificando:
  • Linha 1:
    Simplificando:

Passo 9

Até aqui, conseguimos expressar e em função de e , e em função de . Como temos duas variáveis livres ( e ), isso significa que existem infinitas soluções não triviais para o sistema.

Resposta

O sistema linear homogêneo possui infinitas soluções não triviais, ou seja, além da solução trivial , existem outras soluções onde pelo menos uma variável não é zero.

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