• ( 0,5 pts) Estamos falando de polinômio de Taylor e simplesmente utilizamos a fórmula de uma soma de PG (eq. 1). Como sabemos que é a mesma coisa? Prove que aquela soma realmente representa a sucessão dos polinômios de Taylor centrados em da função .
    [1]

  1. Você tem duas opções: força bruta (usando a fórmula de Taylor e achando um padrão da -ésima derivada de ) ou argumentar usando o Teorema de Taylor. ↩︎

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que a soma de uma Progressão Geométrica (PG) realmente representa a sequência dos polinômios de Taylor centrados em para a função .
Matéria envolvida: Polinômios de Taylor e séries de potências (no caso, a soma de uma PG).
O que vamos precisar: A fórmula dos polinômios de Taylor, a fórmula da soma de uma PG e um pouco de cálculo para derivar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Ele é uma aproximação polinomial de uma função que é construída usando as derivadas da função no ponto de expansão (aqui, ).
A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem para uma função centrada em é:
No nosso caso, , então a fórmula simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas da função e avaliá-las em .
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
E assim por diante. Perceba o padrão: a -ésima derivada de é:
Avaliando em :

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de Taylor, temos:
Porque:
  • E assim por diante.
Portanto, o polinômio de Taylor de ordem para centrado em 0 é a soma dos termos da PG .

Passo 5

Por outro lado, sabemos que a soma de uma Progressão Geométrica (PG) finita é dada por:
No caso de , essa soma é exatamente a expansão em série de Taylor da funç��o centrada em 0.

Resposta

Então, mostramos passo a passo que a soma da PG é igual ao polinômio de Taylor de centrado em . Portanto, a soma realmente representa a sequência dos polinômios de Taylor para essa função.

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(b)