( 0,5 pts) Estamos falando de polinômio de Taylor e simplesmente utilizamos a fórmula de uma soma de PG (eq. 1). Como sabemos que é a mesma coisa? Prove que aquela soma realmente representa a sucessão dos polinômios de Taylor centrados em da função . [1]
Você tem duas opções: força bruta (usando a fórmula de Taylor e achando um padrão da -ésima derivada de ) ou argumentar usando o Teorema de Taylor. ↩︎
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que a soma de uma Progressão Geométrica (PG) realmente representa a sequência dos polinômios de Taylor centrados em para a função .
Matéria envolvida: Polinômios de Taylor e séries de potências (no caso, a soma de uma PG).
O que vamos precisar: A fórmula dos polinômios de Taylor, a fórmula da soma de uma PG e um pouco de cálculo para derivar a função .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Ele é uma aproximação polinomial de uma função que é construída usando as derivadas da função no ponto de expansão (aqui, ).
A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem para uma função centrada em é:
No nosso caso, , então a fórmula simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas da função e avaliá-las em .
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
E assim por diante. Perceba o padrão: a -ésima derivada de é:
Avaliando em :
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de Taylor, temos:
Porque:
E assim por diante.
Portanto, o polinômio de Taylor de ordem para centrado em 0 é a soma dos termos da PG .
Passo 5
Por outro lado, sabemos que a soma de uma Progressão Geométrica (PG) finita é dada por:
No caso de , essa soma é exatamente a expansão em série de Taylor da funç��o centrada em 0.
Resposta
Então, mostramos passo a passo que a soma da PG é igual ao polinômio de Taylor de centrado em . Portanto, a soma realmente representa a sequência dos polinômios de Taylor para essa função.