(3,0 pts) Para os itens a seguir considere a função
f(x) = (2x + 1) / (x + 2)
(a) Encontre f'(1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função quando . Para isso, vamos utilizar o conceito de derivada e aplicar a regra do quociente, que é super útil quando temos uma função que é uma divisão de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função . A gente pode pensar em:
  • (a parte de cima)
  • (a parte de baixo)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas duas funções individuais:
  • A derivada de , que é . Como , a derivada é simplesmente .
  • A derivada de , que é . Como , a derivada é .

Passo 4

Com essas derivadas em mãos, vamos aplicar a regra do quociente. A fórmula da derivada de uma função que é uma divisão é:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Então:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular substituindo na expressão da derivada:

Resposta

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