( 2,0 pts ) - Um prototipo eletrônico possui entre seus sensores um acelerometro, capaz de detectar aceleraçōes entre 0.1 m / s^2 e 50 m / s^2. Dessa forma você prende o dispositivo a um sistema massa-mola, cuja amplitude de oscilaçâo é 20 cm . Quais os valores de periodos podem ser detectados neste aparato?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que queremos resolver aqui. Temos um protótipo eletrônico com um acelerômetro que pode detectar acelerações entre e . Esse dispositivo está preso a um sistema massa-mola que oscila com uma amplitude de (ou ). A gente precisa descobrir quais são os valores dos períodos de oscilação que esse aparato consegue detectar.
Conteúdo da matéria: Movimento Harmônico Simples (MHS), acelerômetros, sistemas massa-mola.
O que vamos precisar para resolver: Fórmulas que relacionam aceleração, amplitude e período em um sistema massa-mola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a aceleração ( a = A omega^2 ) está relacionada à amplitude ( ) e à frequência angular ( ) em um Movimento Harmônico Simples. A fórmula básica é:
Aqui, é a amplitude da oscilação e é a frequência angular.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar a frequência angular ( omega = 2piT ) com o período ( ). A frequência angular está ligada ao período pela seguinte equação:
Onde é o período de oscilação.

Passo 4

Vamos substituir a expressão da frequência angular ( a = A ( 2piT )^2 ) na equação da aceleração:
a = 4pi^2 AT^2
Isso simplifica para:

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar o período ( T = 2pi raizAa ), então vamos rearranjar a equação para isolá-lo:
Essa fórmula nos permite calcular o período com base na amplitude e na aceleração.

Passo 6

Agora, vamos usar os valores fornecidos no problema:
  • Amplitude ( ) =
  • Aceleração mínima ( ) =
  • Aceleração máxima ( ) =
Vamos calcular os períodos correspondentes a essas acelerações.

Passo 7

Primeiro, calculamos o período mínimo ( Tmin = 2pi raiz0,250 = 2pi raiz0,004 approx 2pi times 0,0632456 approx 0,397 , segundos ) usando a aceleração máxima ( ):

Passo 8

Em seguida, calculamos o período máximo ( Tmax = 2pi raiz0,20,1 = 2pi raiz2 approx 2pi times 1,4142 approx 8,89 , segundos ) usando a aceleração m��nima ( ):

Resposta

Os períodos que podem ser detectados por esse aparato variam aproximadamente de 0,4 segundos a 8,9 segundos.

Exercícios relacionados

( 3,0 pts ) - Um oscilador harmónico de 2,0 kg levemente amortecido tem uma frequência de oscilaçåo angular de 0.25 rad / s. (a) Se o deslocamento máximo de 1,0 m ocorre quando t=0,0 s, e, o amortecimento constante b e 0,8 kg / s, qual é o deslocamento do objeto quando t=4,0 s ?
Os pontos a, b e c estão nos vértices de um triângulo equilátero com 3 m de lado. Cargas iguais e positivas de 2 mu C são colocadas em a e b. a) Qual é o potencial no ponto c? b) Qual é o trabalho necessário para trazer cargas positivas de 5 mu C do infinito até o ponto c se as outras cargas forem mantidas fixas? c) Responda os itens a e b considerando que a carga b seja substituída por uma carga de -2 mu C. R: a) 11,98 times 10^3 V; b) 0,06 J; c) V=0 e W=0.
IDÉIAS-CHAVE (1) Esta situação é equivalente à da água descendo com velocidade v0 por um cano largo (o tanque) de seção reta A e depois se movendo (horizontalmente) com velocidade v em um cano estreito (o furo) de seção reta a. (2) Como toda água que passa pelo cano largo passa tambémí pelo cano estreito, a vazão RV deve ser a mesma nos dois Cálculos: De acordo com a Eq. 14-24,
c RV=a v=A v0 v0=aA v
e portanto
Como a ll A, vemos que v0 <= v. Para aplicar a equação de Bernoulli tomamos o nível do furo como nosso nível de referência para a medida de altura (e, portanto, da energia potencial gravitacional). Notando que a pressão no alto đa caixa d p0+12 rho v0^2+rho g h=p0+12 rho v^2+rho g(0)
FIG. 14-21 A água sai de um tanque por um furo situado a uma distância h da superfície da água. A pressão na superfície da agua e no local do furo é
não seria um número real. Em vez disso, porém, vamos raciocinar um pouco. De acordo com a Eq. 14-35, a velocidade v2 na parte estreita deve ser maior do que a velocidade v1 na parte larga para que os produtos v1 A1 e v2 A2 sejam iguais. Sabemos também que se a velocidade de um fluido aumenta enquanto ele escoa em um cano horizontal (como neste caso), a pressão do fluido diminui. Assim, p1 é maior que p2, e p1-p2=4120 Pa. Substituindo este resultado e os valores conhecidos na Eq. 14-38, obtemos
RV & =1,20 times 10^-3 m^2 raiz(2)(4120 Pa)(3)(791 kg / m^3) & =2,24 times 10^-3 m^3 / s
(Resposta) pressão atmosférica p0.
( O alto do tanque é representado pelo lado esquerdo da equação, e o furo pelo lado direito. O zero do lado direito indica que o furo está no nível de referência.) Antes de explicitar v na Eq. 14-39, podemos usar nosso resultado de que v0 <= v para simplificá-la: supomos que v0^2, e portanto o termo 12 rho v0^2 na Eq. 14-39 é desprezível em comparação com os outros termos, e o abandonamos. Explicitando v na equação restante, obtemos
v=raiz2 g h
(Resposta)
Esta é a mesma velocidade que um objeto teria se caísse de uma altura h a partir do repouso.
Um disco metálico de ferro com um orifício em seu interior (Fig.1) é aquecido até o ferro se expandir em 1 %. O diâmetro do orifício aumentará, diminuirá ou permanecerá constante? Justifique a sua resposta.