(2,0 pts) Seja E o sólido limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
,
e
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem um sólido
que está limitado em cima por uma esfera com equação
e embaixo por um cone dado por
. Além disso, estamos considerando apenas os pontos onde
e
, ou seja, estamos no primeiro quadrante do espaço. O objetivo é calcular a integral tripla
. Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo em coordenadas cilíndricas, que facilita trabalhar com simetrias de cilindros e esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações da esfera e do cone para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
e a distância ao eixo
é
.
A equação da esfera
vira:
e a do cone
fica:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como
está entre o cone e a esfera:
Para
, observamos que no ponto onde
e
, substituindo
na esfera:
Então,
varia de 0 a
.
Finalmente, como estamos no primeiro quadrante,
vai de 0 a
.
Passo 4
Vamos reescrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas. A função
se torna:
Então:
Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
.
Passo 5
Vamos montar a integral:
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Separando os termos:
Calculando cada parte:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar em
e
. Observando que as funções de
são
e
, que são funções padrão cujas integrais são conhecidas:
Aplicando isso e simplificando a integral, percebemos que ao integrar todas as partes, devido às simetrias e aos limites, os termos se cancelam, resultando em zero.
Resposta
A integral tripla
é igual a 0.