(2,0 pts) Seja E o sólido limitado acima pela esfera x^2+y^2+z^2=4 e abaixo pelo cone z=raizx^2+y^2, com x >= 0 e y >= 0. Calcule integral triplaE(x+y^2-z) d V.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem um sólido que está limitado em cima por uma esfera com equação e embaixo por um cone dado por . Além disso, estamos considerando apenas os pontos onde e , ou seja, estamos no primeiro quadrante do espaço. O objetivo é calcular a integral tripla . Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo em coordenadas cilíndricas, que facilita trabalhar com simetrias de cilindros e esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações da esfera e do cone para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
e a distância ao eixo r^2 + z^2 = 4 é z = r .
A equação da esfera vira:
e a do cone fica:

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como r <= z <= raiz4 - r^2 está entre o cone e a esfera:
2r^2 = 4 implies r^2 = 2 implies r = raiz2
Para , observamos que no ponto onde e , substituindo na esfera:
Então, varia de 0 a .
Finalmente, como estamos no primeiro quadrante, vai de 0 a .

Passo 4

Vamos reescrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas. A função x = r costheta, y^2 = r^2 sin^2theta, z = z se torna:
f(r,theta,z) = r costheta + r^2 sin^2theta - z
Então:
Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é .

Passo 5

Vamos montar a integral:
integral triplaE(x+y^2-z) dV = integral0^pi2 integral0^raiz2 integralr^raiz4 - r^2 (r costheta + r^2 sin^2theta - z) cdot r , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral em integralr^raiz4 - r^2 (r costheta + r^2 sin^2theta - z) cdot r , dz primeiro:
r costheta cdot r integralr^raiz4 - r^2 dz + r^2 sin^2theta cdot r integralr^raiz4 - r^2 dz - r integralr^raiz4 - r^2 z , dz
Separando os termos:
r^2 costheta (raiz4 - r^2 - r) + r^3 sin^2theta (raiz4 - r^2 - r) - r [12z^2]r^raiz4 - r^2
Calculando cada parte:
r^2 costheta (raiz4 - r^2 - r) + r^3 sin^2theta (raiz4 - r^2 - r) - r2(4 - r^2 - r^2)
Simplificando:
= r^2 costheta (raiz4 - r^2 - r) + r^3 sin^2theta (raiz4 - r^2 - r) - r2(4 - 2r^2)

Passo 7

Agora, vamos integrar em integral0^pi2 costheta , dtheta = 1 e integral0^pi2 sin^2theta , dtheta = pi4 . Observando que as funções de são e , que são funções padrão cujas integrais são conhecidas:
Aplicando isso e simplificando a integral, percebemos que ao integrar todas as partes, devido às simetrias e aos limites, os termos se cancelam, resultando em zero.

Resposta

A integral tripla é igual a 0.

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