Use a derivação implícita para determinar partial z / partial x e partial z / partial y.
45. x^2+y^2+z^2=3 x y z
46. y z=ln (x+z)
47. x-z=arctg(y z)
48. sen(x y z)=x+2 y+3 z

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar a derivação implícita e encontrar as derivadas parciais e . O enunciado que vamos trabalhar é a equação . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a derivação implícita, que é uma técnica usada quando é uma função de e , mas não está isolada na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar ddx(x^2) = 2x . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a ddx(y^2) = 0 (pois y é tratado como constante em relação a x) , lembrando que ddx(z^2) = 2z cdot partial zpartial x é uma função de ddx(3xyz) = 3y cdot z + 3xy cdot partial zpartial x e 2x + 0 + 2z cdot partial zpartial x = 3y cdot z + 3xy cdot partial zpartial x . A derivada de 2z cdot partial zpartial x - 3xy cdot partial zpartial x = 3y z - 2x em relação a partial zpartial x (2z - 3xy) = 3y z - 2x será partial zpartial x = 3y z - 2x2z - 3xy .
Derivando cada termo:
éçã
Do lado direito:
Agora, juntando tudo:
Agora, vamos isolar :

Passo 3

Agora, vamos encontrar ddy(x^2) = 0 (pois x é tratado como constante em relação a y) . Novamente, vamos derivar ambos os lados da equação ddy(y^2) = 2y , mas agora em relação a ddy(z^2) = 2z cdot partial zpartial y .
Derivando cada termo:
ddy(3xyz) = 3x cdot z + 3xy cdot partial zpartial y éçã
0 + 2y + 2z cdot partial zpartial y = 3x z + 3xy cdot partial zpartial y
2z cdot partial zpartial y - 3xy cdot partial zpartial y = 3x z - 2y
Do lado direito:
partial zpartial y (2z - 3xy) = 3x z - 2y
Juntando tudo:
partial zpartial y = 3x z - 2y2z - 3xy
Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 3y z - 2x2z - 3xy
partial zpartial y = 3x z - 2y2z - 3xy

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