Sendo ABCDEF um hexágono regular, como no exercício anterior. Expresse os seguintes vetores em função dos vetores OD, OE.
a) OA+OB+OC+OD+OE+OF
b) A B+B C+C D+D E+E F+F A
c) A B+B C+C D+D E+E F
d) OA+OB+OD+OE
e) O C+A F+E F

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores num hexágono regular ABCDEF. O que a gente precisa aqui é entender como expressar diferentes combinações de vetores usando apenas os vetores OD e OE. Para isso, vamos usar as propriedades dos vetores em figuras geométricas regulares, tipo o hexágono.

Passo 2

Vamos começar pela letra a): OA+OB+OC+OD+OE+OF.
Um hexágono regular é simétrico, e se você somar todos os vetores que vão do centro O para os vértices A, B, C, D, E e F, por causa dessa simetria, a soma desses vetores é o vetor nulo. Ou seja:
OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0

Passo 3

Agora, vamos para a letra b): AB+BC+CD+DE+EF+FA.
Esses vetores representam os lados do hexágono. Quando você soma todos os lados de uma figura fechada, o resultado é sempre o vetor nulo, porque você volta ao ponto de partida. Então:
AB + BC + CD + DE + EF + FA = 0

Passo 4

Vamos para a letra c): AB+BC+CD+DE+EF.
Aqui, estamos somando cinco lados do hexágono. Para expressar isso em termos de OD e OE, precisamos lembrar que:
AB = OB - OA
E, como vimos na letra a), a soma de todos os OA a OF é zero. Então, somando cinco desses vetores, sobra apenas -OF. Mas OF pode ser expressa em termos de OD e OE. Como o hexágono é regular:
OF = -(OD + OE)
Portanto:
AB + BC + CD + DE + EF = OD + OE

Passo 5

Passando para a letra d): OA+OB+OD+OE.
Sabemos que a soma de todos os vetores do centro para os vértices é zero. Então:
OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0
Se subtrairmos OC e OF dos dois lados, temos:
OA + OB + OD + OE = -(OC + OF)
E sabemos que:
OC + OF = -(OD + OE)
Portanto:
OA + OB + OD + OE = OD + OE

Passo 6

Finalmente, a letra e): OC+AF+EF.
Vamos decompor cada vetor:
  • OC já está em termos de O.
  • AF pode ser escrita como OF - OA.
  • EF é OF - OE.
Substituindo na expressão:
OC + (OF - OA) + (OF - OE)
Agrupando termos:
OC - OA - OE + 2OF
Usando a relação OF = -(OD + OE):
OC - OA - OE + 2(-OD - OE)
Simplificando:
OC - OA - OE - 2OD - 2OE = 0 - 2OD - 3OE = -2OD - 3OE

Resposta

a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0
b) AB + BC + CD + DE + EF + FA = 0
c) AB + BC + CD + DE + EF = OD + OE
d) OA + OB + OD + OE = OD + OE
e) OC + AF + EF = -2,OD - 3,OE

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