Sendo ABCDEF um hexágono regular, como no exercício anterior. Expresse os seguintes vetores em função dos vetores .
a) OA+OB+OC+OD+OE+OF
b) A B+B C+C D+D E+E F+F A
c) A B+B C+C D+D E+E F
d) OA+OB+OD+OE
e) O C+A F+E F
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores num hexágono regular ABCDEF. O que a gente precisa aqui é entender como expressar diferentes combinações de vetores usando apenas os vetores OD e OE. Para isso, vamos usar as propriedades dos vetores em figuras geométricas regulares, tipo o hexágono.
Passo 2
Vamos começar pela letra a): OA+OB+OC+OD+OE+OF.
Um hexágono regular é simétrico, e se você somar todos os vetores que vão do centro O para os vértices A, B, C, D, E e F, por causa dessa simetria, a soma desses vetores é o vetor nulo. Ou seja:
OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0
Passo 3
Agora, vamos para a letra b): AB+BC+CD+DE+EF+FA.
Esses vetores representam os lados do hexágono. Quando você soma todos os lados de uma figura fechada, o resultado é sempre o vetor nulo, porque você volta ao ponto de partida. Então:
AB + BC + CD + DE + EF + FA = 0
Passo 4
Vamos para a letra c): AB+BC+CD+DE+EF.
Aqui, estamos somando cinco lados do hexágono. Para expressar isso em termos de OD e OE, precisamos lembrar que:
AB = OB - OA
E, como vimos na letra a), a soma de todos os OA a OF é zero. Então, somando cinco desses vetores, sobra apenas -OF. Mas OF pode ser expressa em termos de OD e OE. Como o hexágono é regular:
OF = -(OD + OE)
Portanto:
AB + BC + CD + DE + EF = OD + OE
Passo 5
Passando para a letra d): OA+OB+OD+OE.
Sabemos que a soma de todos os vetores do centro para os vértices é zero. Então: