Sendo ABCDEF um hexágono regular, como no exercício anterior. Expresse os seguintes vetores em função dos vetores .
a)
b)
c)
d)
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores num hexágono regular ABCDEF. O que a gente precisa aqui é entender como expressar diferentes combinações de vetores usando apenas os vetores e . Para isso, vamos usar as propriedades dos vetores em figuras geométricas regulares, tipo o hexágono.

Passo 2

Vamos começar pela letra a): .
Um hexágono regular é simétrico, e se você somar todos os vetores que vão do centro O para os vértices A, B, C, D, E e F, por causa dessa simetria, a soma desses vetores é o vetor nulo. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos para a letra b): .
Esses vetores representam os lados do hexágono. Quando você soma todos os lados de uma figura fechada, o resultado é sempre o vetor nulo, porque você volta ao ponto de partida. Então:

Passo 4

Vamos para a letra c): .
Aqui, estamos somando cinco lados do hexágono. Para expressar isso em termos de e , precisamos lembrar que:
E, como vimos na letra a), a soma de todos os a é zero. Então, somando cinco desses vetores, sobra apenas . Mas pode ser expressa em termos de e . Como o hexágono é regular:
Portanto:

Passo 5

Passando para a letra d): .
Sabemos que a soma de todos os vetores do centro para os vértices é zero. Então:
Se subtrairmos e dos dois lados, temos:
E sabemos que:
Portanto:

Passo 6

Finalmente, a letra e): .
Vamos decompor cada vetor:
  • já está em termos de O.
  • pode ser escrita como .
  • é .
Substituindo na expressão:
Agrupando termos:
Usando a relação :
Simplificando:

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)

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