Resolva os sistemas abaixo (pelo método de Gauss-Jordan) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. O sistema que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com um sistema linear de duas equações e quatro incógnitas (, , , ). Para resolver isso, vamos montar a matriz ampliada do sistema e aplicar as operações de linha para chegar à forma escalonada reduzida.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz ampliada do sistema. A matriz ampliada inclui os coeficientes das variáveis e a coluna dos termos constantes (no caso, 0 e 0):
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Jordan para reduzir essa matriz. O objetivo é ter 1’s na diagonal principal e 0’s abaixo e acima dela.
Primeiro, vamos transformar o primeiro elemento da primeira linha () em 1. Para isso, dividimos toda a primeira linha por 4:
Passo 4
Em seguida, vamos eliminar o 1 que está abaixo do primeiro 1 da matriz. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda linha:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a segunda linha para ter um 1 na posição . Multiplicamos a segunda linha por :
Passo 6
Com o 1 na segunda linha, vamos eliminar o que está acima dele na primeira linha. Para isso, subtraímos vezes a segunda linha da primeira linha:
Passo 7
Agora, a matriz está na forma escalonada reduzida. Vamos identificar os postos das matrizes:
Posto da matriz ampliada: É o número de linhas não nulas na matriz reduzida, que aqui é 2.
Posto da matriz dos coeficientes: Também é 2, já que as duas primeiras colunas possuem pivôs.
Como o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes e ambos são menores que o número de incógnitas (4), o sistema é possível e indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções com graus de liberdade.
Resposta
O sistema possui infinitas soluções com dois graus de liberdade.