(PUC) O ponto B=(3, b) é equidistante dos pontos A=(6,0) e C=(0,6). Logo, o ponto B é:
a) (3,1).
b) (3,6).
c) (3,3).
d) (3,2).
e) (3,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema diz que o ponto está igualmente distante dos pontos e . A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no plano. Vamos precisar dessa fórmula para achar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distância entre dois pontos. Se temos dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e , a distância entre eles é dada por:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula para encontrar a distância entre dBA = raiz(6 - 3)^2 + (0 - b)^2 = raiz3^2 + (-b)^2 = raiz9 + b^2 e dBC = raiz(0 - 3)^2 + (6 - b)^2 = raiz(-3)^2 + (6 - b)^2 = raiz9 + (6 - b)^2 , e entre e .
Para a distância entre e :
Para a distância entre e :

Passo 4

Como raiz9 + b^2 = raiz9 + (6 - b)^2 está igualmente distante de e , isso significa que . Então, vamos igualar as duas expressões:

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos primeiro eliminar as raízes quadradas elevando ambos os lados ao quadrado:
9 + b^2 = 9 + (6 - b)^2

Passo 6

Agora, simplificamos a equação subtraindo 9 de ambos os lados:
b^2 = (6 - b)^2

Passo 7

Vamos expandir o lado direito da equação:
b^2 = 36 - 12b + b^2

Passo 8

Em seguida, subtraímos 0 = 36 - 12b de ambos os lados para simplificar:

Passo 9

Agora, resolvemos para 12b = 36 b = 3612 b = 3 :

Resposta

A resposta correta é a letra c) .

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