Seja B uma matriz real
que comuta com a matriz
Mostre que existem números reais a e b tais que:
Passo 1
Beleza, a gente tem uma matriz
que é
e que comuta com a matriz
dada:
O que significa “comutar”? Basicamente, duas matrizes comutam se
. A missão aqui é mostrar que existe
e
reais tais que
, onde
é a matriz identidade
. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como multiplicação de matrizes e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que
pode ser escrita como:
Isso significa que queremos encontrar valores reais para
e
que façam essa igualdade funcionar. Vamos expandir essa expressão para ver como fica
.
Passo 3
Calculando
:
Somando as duas matrizes:
Então,
fica assim:
Passo 4
Agora, sabemos que
comuta com
, ou seja,
. Vamos calcular
e
para ver o que isso nos diz sobre
e
.
Primeiro, calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 5
Observando os resultados de
e
, vemos que:
Ou seja, para qualquer
e
reais, essas duas expressões são iguais. Isso confirma que
comuta com
quando
é uma combinação linear de
e
.
Resposta
Sim, existem números reais
e
tais que
, garantindo que
comute com
.
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