Seja B uma matriz real 2 times 2 que comuta com a matriz
A=(ll 1 & 2 0 & 3 )
Mostre que existem números reais a e b tais que:
B=aA+bI2

Passo 1

Beleza, a gente tem uma matriz A = 1 & 2 0 & 3 que é e que comuta com a matriz dada:
O que significa “comutar”? Basicamente, duas matrizes comutam se . A missão aqui é mostrar que existe e reais tais que , onde é a matriz identidade . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como multiplicação de matrizes e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que B = aA + bI2 pode ser escrita como:
Isso significa que queremos encontrar valores reais para e que façam essa igualdade funcionar. Vamos expandir essa expressão para ver como fica .

Passo 3

Calculando aA = a 1 & 2 0 & 3 = a & 2a 0 & 3a :
bI2 = b 1 & 0 0 & 1 = b & 0 0 & b
aA + bI2 = a + b & 2a 0 & 3a + b
Somando as duas matrizes:
B = a + b & 2a 0 & 3a + b
Então, fica assim:

Passo 4

Agora, sabemos que AB = A cdot B = 1 & 2 0 & 3 a + b & 2a 0 & 3a + b = 1(a + b) + 2(0) & 1(2a) + 2(3a + b) 0(a + b) + 3(0) & 0(2a) + 3(3a + b) = a + b & 2a + 6a + 2b 0 & 9a + 3b = a + b & 8a + 2b 0 & 9a + 3b comuta com BA = B cdot A = a + b & 2a 0 & 3a + b 1 & 2 0 & 3 = (a + b)(1) + 2a(0) & (a + b)(2) + 2a(3) 0(1) + (3a + b)(0) & 0(2) + (3a + b)(3) = a + b & 2a + 6a 0 & 9a + 3b = a + b & 8a + 2b 0 & 9a + 3b , ou seja, . Vamos calcular e para ver o que isso nos diz sobre e .
Primeiro, calculando :
Agora, calculando :

Passo 5

Observando os resultados de AB = BA = a + b & 8a + 2b 0 & 9a + 3b e , vemos que:
Ou seja, para qualquer e reais, essas duas expressões são iguais. Isso confirma que comuta com quando é uma combinação linear de e .

Resposta

Sim, existem números reais e tais que , garantindo que comute com .

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