Uma urna contém cinco moedas, das quais quatro são honestas e uma tem duas caras. Uma moeda é escolhida ao acaso e arremessada duas vezes. Qual a probabilidade de a moeda escolhida ser a de duas caras sabendo-se que se observaram duas caras?
Passo 1
Vamos resumir o que a gente tem aqui: tem uma urna com cinco moedas, sendo que quatro delas são honestas (com uma cara e uma coroa) e uma tem duas caras. A gente escolhe uma moeda aleatoriamente e a lança duas vezes, dando duas caras. A pergunta é: qual a chance de a moeda que a gente pegou ser a de duas caras, sabendo que saiu duas caras?
A matéria que vamos usar aqui é Probabilidade Condicional e Teorema de Bayes. Precisamos entender como calcular a probabilidade de um evento A acontecer dado que outro evento B já ocorreu.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os eventos:
- A: A moeda escolhida é a de duas caras.
- B: Observamos duas caras nos lançamentos.
A gente quer descobrir P(A|B), que é a probabilidade de A acontecer dado que B já aconteceu.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a calcular essa probabilidade condicional. A fórmula é:
Passo 4
Vamos calcular cada parte dessa fórmula:
- P(A): É a probabilidade de escolher a moeda de duas caras. Como tem uma moeda dessas em cinco, fica:
- P(B|A): É a probabilidade de dar duas caras se a moeda escolhida é a de duas caras. Como essa moeda tem duas caras, sempre vai dar cara. Então:
- P(B): É a probabilidade de dar duas caras, independente de qual moeda foi escolhida. Para calcular isso, consideramos as duas possibilidades: ou a moeda é a de duas caras ou não.
- Se for a moeda normal (4 em 5), a chance de dar cara duas vezes é:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de a moeda escolhida ser a de duas caras, dado que observamos duas caras, é
.
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