De quantas maneiras distintas podemos colocar 10 bolas em 3 urnas de modo que fique 2 bolas na primeira urna, 3 bolas na segunda urna e 5 bolas na terceira urna?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para descobrir de quantas maneiras diferentes podemos distribuir 10 bolas em 3 urnas, colocando exatamente 2 bolas na primeira urna, 3 na segunda e 5 na terceira. Para isso, vamos usar conceitos de combinações, que fazem parte da matéria de probabilidades e combinatória. Vamos precisar calcular combinações para selecionar as bolas para cada urna.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher quais 2 bolas vão para a primeira urna. Como temos 10 bolas no total, o número de maneiras de escolher 2 bolas é dado pela combinação:
C(10, 2) = 10!2! times (10-2)! = 10 times 92 times 1 = 45
Então, temos 45 maneiras de selecionar as 2 bolas para a primeira urna.

Passo 3

Depois de colocar 2 bolas na primeira urna, restam 8 bolas. Agora, vamos escolher quais 3 dessas 8 bolas vão para a segunda urna. Usamos a combinação novamente:
C(8, 3) = 8!3! times (8-3)! = 8 times 7 times 63 times 2 times 1 = 56
Então, há 56 maneiras de selecionar as 3 bolas para a segunda urna.

Passo 4

Por último, após distribuir as bolas nas duas primeiras urnas, restam exatamente 5 bolas, que vão todas para a terceira urna. Como todas essas bolas vão para lá, só temos 1 maneira de fazer isso:
C(5, 5) = 1

Passo 5

Para encontrar o número total de maneiras de distribuir as bolas conforme solicitado, multiplicamos as combinações de cada passo:
45 times 56 times 1 = 2520

Resposta

Existem 2.520 maneiras distintas de distribuir as 10 bolas nas 3 urnas conforme especificado.

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