Quantas soluções para a equação
existem em que os valores de
e
são números naturais, ou seja
? (DICA: A solução do problema 11 pode ser adaptada para esse problema)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir quantas soluções existem para a equação
, onde
,
e
são números naturais (0, 1, 2, …). Isso se encaixa na matéria de combinações, mais especificamente no método chamado “Estrela e Barra” que ajuda a contar o número de maneiras de distribuir itens.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa encontrar soluções para
. Basicamente, queremos saber de quantas formas podemos distribuir 12 unidades entre três variáveis, onde cada variável pode receber 0 ou mais unidades.
Passo 3
Aqui entra o método de Estrela e Barra. Imagine que as 12 unidades são representadas por estrelas (
) e as separações entre
,
e
são feitas por barras (
). Por exemplo:
Isso representa
,
e
.
Passo 4
Para encontrar o número total de soluções, precisamos calcular de quantas maneiras podemos organizar essas estrelas e barras. Temos 12 estrelas e 2 barras (porque são 3 variáveis - 1).
Passo 5
O total de símbolos a serem organizados é
. A fórmula para calcular o número de arranjos é a combinação:
Passo 6
Calculando a combinação:
Resposta
Existem 91 soluções para a equação
onde
,
e
são números naturais.