Quantas soluções para a equação x+y+z=12 existem em que os valores de x, y e z são números naturais, ou seja 0,1,2, ldots ? (DICA: A solução do problema 11 pode ser adaptada para esse problema)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir quantas soluções existem para a equação , onde , e são números naturais (0, 1, 2, …). Isso se encaixa na matéria de combinações, mais especificamente no método chamado “Estrela e Barra” que ajuda a contar o número de maneiras de distribuir itens.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa encontrar soluções para . Basicamente, queremos saber de quantas formas podemos distribuir 12 unidades entre três variáveis, onde cada variável pode receber 0 ou mais unidades.

Passo 3

Aqui entra o método de Estrela e Barra. Imagine que as 12 unidades são representadas por estrelas ( ****|***|***** ) e as separações entre , e são feitas por barras ( ). Por exemplo:
Isso representa , e .

Passo 4

Para encontrar o número total de soluções, precisamos calcular de quantas maneiras podemos organizar essas estrelas e barras. Temos 12 estrelas e 2 barras (porque são 3 variáveis - 1).

Passo 5

O total de símbolos a serem organizados é binom142 = 14!2! cdot (14-2)! . A fórmula para calcular o número de arranjos é a combinação:

Passo 6

Calculando a combinação:
binom142 = 14 times 132 times 1 = 91

Resposta

Existem 91 soluções para a equação onde , e são números naturais.

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