Se temos 3 livros escritos em inglês, 4 em português e 2 em francês. Então de quantas formas eu posso colocar esses livros em uma estante, com a condição que livros escritos na mesma língua devam ficar juntos?

Passo 1

Então, a gente tem um problema de permutação com restrições aqui. Temos 3 livros em inglês, 4 em português e 2 em francês, e precisamos descobrir de quantas formas podemos arrumar esses livros na estante, garantindo que os livros da mesma língua fiquem sempre juntos. Para resolver isso, vamos precisar entender como agrupar esses livros por língua e depois calcular as diferentes maneiras de arrumar esses grupos e os livros dentro de cada grupo.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que cada conjunto de livros da mesma língua forma um “bloco”. Ou seja:
  • 1 bloco com 3 livros em inglês
  • 1 bloco com 4 livros em português
  • 1 bloco com 2 livros em francês
Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos arrumar esses 3 blocos na estante. Como temos 3 blocos distintos, o número de arranjos é dado por 3! = 3 times 2 times 1 = 6 (3 fatorial).
Então, temos 6 maneiras de organizar os 3 blocos na estante.

Passo 3

Mas não para por aí! Dentro de cada bloco, os livros também podem ser arranjados de diferentes maneiras. Vamos calcular isso para cada bloco:
  • Bloco de inglês (3 livros):
    3! = 3 times 2 times 1 = 6
  • Bloco de português (4 livros):
    4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24
  • Bloco de francês (2 livros):
    2! = 2 times 1 = 2

Passo 4

Agora, para encontrar o total de arranjos possíveis, multiplicamos o número de maneiras de arrumar os blocos pelas maneiras de arrumar os livros dentro de cada bloco:
Total = 3! times 3! times 4! times 2! = 6 times 6 times 24 times 2 = 1728

Resposta

Existem 1.728 maneiras de arrumar os livros na estante cumprindo a condição dada.

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