Quantas soluções inteiras possui a equação , com , ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar quantas soluções inteiras existem para a equação , onde , e . Isso envolve conceitos de combinatória, especificamente a técnica conhecida como “Estrelas e Barras” para contar soluções inteiras de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar as restrições para que todas as variáveis sejam maiores ou iguais a zero, facilitando a aplicação da técnica. Para isso:
  • Para , fazemos uma substituição: . Assim, .
  • Para , substituímos por . Assim, .
  • Para , fazemos . Assim, .

Passo 3

Agora, substituímos essas novas variáveis na equação original:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o número de soluções inteiras não negativas para . Usamos a fórmula de “Estrelas e Barras”, que é:
úçõ
onde é a soma (8) e é o número de variáveis (3).

Passo 5

Aplicando a fórmula:

Resposta

Existem 45 soluções inteiras para a equação dada.

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É possível que ?