Quantas soluções inteiras possui a equação
, com
,
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar quantas soluções inteiras existem para a equação
, onde
,
e
. Isso envolve conceitos de combinatória, especificamente a técnica conhecida como “Estrelas e Barras” para contar soluções inteiras de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos ajustar as restrições para que todas as variáveis sejam maiores ou iguais a zero, facilitando a aplicação da técnica. Para isso:
- Para
, fazemos uma substituição: . Assim, . - Para
, substituímos por . Assim, . - Para
, fazemos . Assim, .
Passo 3
Agora, substituímos essas novas variáveis na equação original:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o número de soluções inteiras não negativas para
. Usamos a fórmula de “Estrelas e Barras”, que é:
onde
é a soma (8) e
é o número de variáveis (3).
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Resposta
Existem 45 soluções inteiras para a equação dada.
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