e são eventos em um espaço de probabilidade, tais que .
Qual o menor valor possível para ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três eventos , e em um espaço de probabilidade. Cada um desses eventos tem a mesma probabilidade de acontecer, que é . Nosso objetivo é descobrir qual é o menor valor possível para a probabilidade de todos os três eventos acontecerem ao mesmo tempo, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades básicas de probabilidades e entender como elas se relacionam quando consideramos interseções de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de pelo menos um dos eventos acontecer é dada por . Existe uma fórmula chamada princípio da inclusão-exclusão que nos ajuda a calcular isso:
Como queremos encontrar o menor valor de , precisamos entender como maximizar as outras probabilidades para reduzir .

Passo 3

Sabemos que a probabilidade total de qualquer evento não pode ser maior que 1. Então, temos:
Substituindo na fórmula da inclusão-exclusão:
Simplificando:
Isso nos leva a:

Passo 4

Para minimizar , devemos maximizar a soma das probabilidades das interseções de dois eventos. Como cada um desses é no máximo , a soma máxima é:
Substituindo na desigualdade anterior:
Portanto:
Mas isso é apenas um limite superior trivial. Para encontrar o menor valor possível, consideramos a diferença máxima que podemos ter.

Passo 5

Outra abordagem é usar uma fórmula simplificada para o menor valor possível da interseção de três eventos com a mesma probabilidade:
Substituindo :
Assim, o menor valor possível para é .

Resposta

O menor valor possível para é .

Exercícios relacionados

Qual a probabilidade de o dado ter mostrado 6, se se observaram duas caras? .

Solução:

Seja o evento de se observar 6 no lançamento do dado.

e são eventos em um espaço de probabilidade, tais que .
Qual o menor valor possível para ?
Quantas soluções inteiras possui a equação , com ?
Quantas soluções inteiras possui a equação , com , ?