e
são eventos em um espaço de probabilidade, tais que
.
Qual o menor valor possível para
?
Qual o menor valor possível para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três eventos
,
e
em um espaço de probabilidade. Cada um desses eventos tem a mesma probabilidade de acontecer, que é
. Nosso objetivo é descobrir qual é o menor valor possível para a probabilidade de todos os três eventos acontecerem ao mesmo tempo, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades básicas de probabilidades e entender como elas se relacionam quando consideramos interseções de eventos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de pelo menos um dos eventos acontecer é dada por
. Existe uma fórmula chamada princípio da inclusão-exclusão que nos ajuda a calcular isso:
Como queremos encontrar o menor valor de
, precisamos entender como maximizar as outras probabilidades para reduzir
.
Passo 3
Sabemos que a probabilidade total de qualquer evento não pode ser maior que 1. Então, temos:
Substituindo na fórmula da inclusão-exclusão:
Simplificando:
Isso nos leva a:
Passo 4
Para minimizar
, devemos maximizar a soma das probabilidades das interseções de dois eventos. Como cada um desses é no máximo
, a soma máxima é:
Substituindo na desigualdade anterior:
Portanto:
Mas isso é apenas um limite superior trivial. Para encontrar o menor valor possível, consideramos a diferença máxima que podemos ter.
Passo 5
Outra abordagem é usar uma fórmula simplificada para o menor valor possível da interseção de três eventos com a mesma probabilidade:
Substituindo
:
Assim, o menor valor possível para
é
.
Resposta
O menor valor possível para
é
.
Exercícios relacionados
Qual a probabilidade de o dado ter mostrado 6, se se observaram duas caras?
.
Solução:
Seja
o evento de se observar 6 no lançamento do dado.
Qual o menor valor possível para
Quantas soluções inteiras possui a equação
, com
?
Quantas soluções inteiras possui a equação
, com
,
?