e
são eventos em um espaço de probabilidade, tais que
.
É possível que
?
É possível que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre três eventos
,
e
em um espaço de probabilidade, onde cada um deles tem probabilidade de
. A pergunta é: é possível que a interseção dos três eventos,
, seja vazia (
)? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidades de interseção e usar algumas regras básicas de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a interseção de eventos representa a ocorrência simultânea dos eventos. Ou seja,
ocorre quando os três eventos
,
e
acontecem ao mesmo tempo.
Passo 3
Agora, vamos usar uma regra importante chamada princípio da inclusão-exclusão, que nos ajuda a calcular a probabilidade da união de vários eventos. Para três eventos, a regra é:
Passo 4
Mas para nosso objetivo, queremos saber a menor probabilidade possível de
. Para isso, vamos rearranjar a fórmula para encontrar um limite inferior. Sabemos que a probabilidade de qualquer evento é no máximo 1, então
.
Passo 5
Usando isso, podemos estabelecer que:
Substituindo os valores dados:
Então,
Passo 6
Isso significa que a probabilidade de
acontecer não pode ser menor que
. Portanto,
não pode ser vazio, já que a probabilidade de um evento vazio é 0, que é menor que
.
Resposta
Não, não é possível que
.