A, B e C são eventos em um espaço de probabilidade, tais que P(A) = P(B) = P(C) = 7/10.
É possível que A ∩ B ∩ C = ∅ ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre três eventos , e em um espaço de probabilidade, onde cada um deles tem probabilidade de . A pergunta é: é possível que a interseção dos três eventos, , seja vazia ( )? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidades de interseção e usar algumas regras básicas de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a interseção de eventos representa a ocorrência simultânea dos eventos. Ou seja, ocorre quando os três eventos , e acontecem ao mesmo tempo.

Passo 3

Agora, vamos usar uma regra importante chamada princípio da inclusão-exclusão, que nos ajuda a calcular a probabilidade da união de vários eventos. Para três eventos, a regra é:

Passo 4

Mas para nosso objetivo, queremos saber a menor probabilidade possível de . Para isso, vamos rearranjar a fórmula para encontrar um limite inferior. Sabemos que a probabilidade de qualquer evento é no máximo 1, então .

Passo 5

Usando isso, podemos estabelecer que:
Substituindo os valores dados:
Então,

Passo 6

Isso significa que a probabilidade de acontecer não pode ser menor que . Portanto, não pode ser vazio, já que a probabilidade de um evento vazio é 0, que é menor que .

Resposta

Não, não é possível que .

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