(a) Utilize o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio para demonstrar que quando o elétron se move do estado
para o
, a frequência da luz emitida é
(b) O princípio da correspondência de Bohr afirma que os resultados quânticos devem se reduzir a resultados clássicos no limite dos números quânticos grandes. Demonstre que, para
, esta expressão varia como
e se reduz à frequência clássica que se espera que o átomo emita. Sugestão: Para calcular a frequência clássica, observe que a frequência de rotação é
, onde
é a velocidade escalar do elétron e
é dado pela equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui envolve o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, que é uma teoria para entender como os elétrons se movem ao redor do núcleo. Vamos precisar usar as fórmulas de energia dos níveis de Bohr e relacionar com a frequência da luz emitida quando um elétron salta de um nível para outro. Vamos começar pela parte (a).
Passo 2
Primeiro, vamos recordar que no modelo de Bohr, a energia dos níveis quantizados do elétron no átomo de hidrogênio é dada por:
Onde:
- $ m_e $ é a massa do elétron,
- $ k_e $ é a constante eletrostática,
- $ e $ é a carga do elétron,
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
- $ n $ é o número quântico principal.
Passo 3
Quando um elétron faz uma transição de um nível $ n $ para um nível $ n-1 $, ele libera energia que é emitida na forma de um fóton. A energia desse fóton $ E $ é igual à diferença de energia entre os dois níveis:
Substituindo as expressões de $ E_n $:
Passo 4
Sabemos que a energia do fóton também está relacionada à sua frequência $ f $ pela equação:
Onde $ h $ é a constante de Planck. Então, podemos igualar as duas expressões para $ E $:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, lembrando que $ \hbar = \frac{h}{2\pi} $, então substituímos:
Passo 6
Isolando $ f $:
Passo 7
Agora vamos para a parte (b). Aqui, precisamos aplicar o princípio da correspondência de Bohr, que diz que os resultados da mecânica quântica devem coincidir com os da física clássica quando os números quânticos são grandes ($ n \rightarrow \infty $). Vamos mostrar que, para $ n \rightarrow \infty $, a expressão da frequência varia como $ 1/n^{3} $ e corresponde à frequência clássica esperada.
Passo 8
Primeiro, vamos considerar a expressão que já encontramos para $ f $:
Para $ n $ grande, $ n-1 \approx n $, então:
Portanto, para $ n \rightarrow \infty $:
Passo 9
Agora, vamos calcular a frequência clássica esperada. A sugestão foi usar $ v / 2\pi r $, onde $ v $ é a velocidade do elétron e $ r $ é o raio da órbita. Do modelo de Bohr, sabemos que:
E a velocidade $ v $ é dada por:
Passo 10
Então, a frequência clássica $ f_{clássica} $ é:
Passo 11
Comparando com a expressão que obtivemos para $ f $ quando $ n \rightarrow \infty $:
Simplificando:
Isso coincide com a frequência clássica $ f_{clássica} $.
Resposta
Para $ n \rightarrow \infty $, a expressão da frequência varia como $ 1/n^{3} $ e se reduz à frequência clássica esperada:
Isso demonstra que o princípio da correspondência de Bohr é satisfeito.