(a) Utilize o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio para demonstrar que quando o elétron se move do estado n para o n-1, a frequência da luz emitida é
f=(2 pi^2 me ke^2 e^4h^3) 2 n-1n^2(n-1)^2
(b) O princípio da correspondência de Bohr afirma que os resultados quânticos devem se reduzir a resultados clássicos no limite dos números quânticos grandes. Demonstre que, para n infty, esta expressão varia como 1 / n^3 e se reduz à frequência clássica que se espera que o átomo emita. Sugestão: Para calcular a frequência clássica, observe que a frequência de rotação é v / 2 pi r, onde v é a velocidade escalar do elétron e r é dado pela equação
rn=n^2 hbar^2me ke e^2 n=1,2,3, ldots

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui envolve o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, que é uma teoria para entender como os elétrons se movem ao redor do núcleo. Vamos precisar usar as fórmulas de energia dos níveis de Bohr e relacionar com a frequência da luz emitida quando um elétron salta de um nível para outro. Vamos começar pela parte (a).

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que no modelo de Bohr, a energia dos níveis quantizados do elétron no átomo de hidrogênio é dada por:
En = -me ke^2 e^42 hbar^2 n^2
Onde:
  • $ m_e $ é a massa do elétron,
  • $ k_e $ é a constante eletrostática,
  • $ e $ é a carga do elétron,
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
  • $ n $ é o número quântico principal.

Passo 3

Quando um elétron faz uma transição de um nível $ n $ para um nível $ n-1 $, ele libera energia que é emitida na forma de um fóton. A energia desse fóton $ E $ é igual à diferença de energia entre os dois níveis:
n
Substituindo as expressões de $ E_n $:
n-1

Passo 4

Sabemos que a energia do fóton também está relacionada à sua frequência $ f $ pela equação:
f
Onde $ h $ é a constante de Planck. Então, podemos igualar as duas expressões para $ E $:
E = h f

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, lembrando que $ \hbar = \frac{h}{2\pi} $, então substituímos:
hbar = h2pi

Passo 6

Isolando $ f $:
f

Passo 7

Agora vamos para a parte (b). Aqui, precisamos aplicar o princípio da correspondência de Bohr, que diz que os resultados da mecânica quântica devem coincidir com os da física clássica quando os números quânticos são grandes ($ n \rightarrow \infty $). Vamos mostrar que, para $ n \rightarrow \infty $, a expressão da frequência varia como $ 1/n^{3} $ e corresponde à frequência clássica esperada.

Passo 8

Primeiro, vamos considerar a expressão que já encontramos para $ f $:
f
Para $ n $ grande, $ n-1 \approx n $, então:
f = (2 pi^2 me ke^2 e^4h^3) 2n-1n^2(n-1)^2
Portanto, para $ n \rightarrow \infty $:
n

Passo 9

Agora, vamos calcular a frequência clássica esperada. A sugestão foi usar $ v / 2\pi r $, onde $ v $ é a velocidade do elétron e $ r $ é o raio da órbita. Do modelo de Bohr, sabemos que:
v / 2pi r
E a velocidade $ v $ é dada por:
v

Passo 10

Então, a frequência clássica $ f_{clássica} $ é:
fclássica á

Passo 11

Comparando com a expressão que obtivemos para $ f $ quando $ n \rightarrow \infty $:
f
Simplificando:
n infty
Isso coincide com a frequência clássica $ f_{clássica} $.

Resposta

Para $ n \rightarrow \infty $, a expressão da frequência varia como $ 1/n^{3} $ e se reduz à frequência clássica esperada:
n infty á
Isso demonstra que o princípio da correspondência de Bohr é satisfeito.

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